Sobre las álgebras de Lukasiewicz m generalizadas de orden n

Abstract

De las numerosas subvariedades de las álgebras de Ockham, aquella estrechamente relacionada con las álgebras de De Morgan es Km,0 con m > 1, la cual está formada por las álgebras de Ockham que satisfacen la identidad adicional f2m(x) = x. Como las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden n (o Ln–álgebras) tienen un reducto que es un álgebra de De Morgan, T. Almada y J. Vaz de Carvalho ([1]) consideraron una generalización de las Ln–álgebras reemplazando dicho reducto por uno que pertenece a Km,0 y, de este modo, introdujeron la variedad de las álgebras de Lukasiewicz m−generalizadas de orden n (o Lmn–álgebras). En esta tesis, nosotros continuamos con el estudio de esta variedad. Al volumen lo hemos organizado en cinco capítulos. En el Capítulo I damos nociones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. Además, hemos incluido una breve exposición sobre la teoría de los cálculos proposicionales extensionales implicativos standars. Por último, describimos la localización para retículos distributivos acotados. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos que utilizaremos en el desarrollo de este trabajo. En el Capítulo II, comenzamos nuestro estudio de las álgebras de Lukasiewicz m– generalizadas de orden n. En primer lugar, y motivados por el rol fundamental que desempeña la implicación débil en las álgebras de Lukasiewicz de orden n, introducimos una operación de implicación en las Lmn –álgebras. Esta implicación nos permitió considerar la noción de sistema deductivo a partir de la cual caracterizamos a las congruencias. Cabe señalar que este resultado fue fundamental para describir a las congruencias principales, de manera más simple que la obtenida en [1] a partir de la teoría de las álgebras de Ockham. Además, dicha implicación nos permitió definir un elemento fundamental para obtener una nueva caracterización de las álgebras simples y hallar el polinomio discriminador ternario para esta variedad. Algunos de los temas estudiados en este capítulo fueron expuestos en las comunicaciones: Sobre las m−álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A. Ziliani, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de Cuyo, 2008. La variedad discriminadora de las m-álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de Mar del Plata, 2009. Además, se encuentran publicados en [32]: Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C. A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198. En el Capítulo III, y con el propósito de hallar un cálculo proposicional para el cual las Lmn–álgebras sean su contrapartida algebraica, introducimos una nueva operación de implicación a la que denominamos implicación standard. Ella jugó un papel primordial en la resolución del problema planteado y nos permitió obtener otra caracterización de las congruencias. A continuación describimos el cálculo hallado, que denotamos `mn y probamos que pertenece a la clase de los sistemas proposicionales implicativos extensionales standards. Finalmente, demostramos el teorema de completitud para `mn. Además, cabe mencionar que los resultados obtenidos en este capítulo dan respuesta positiva a un problema planteado en [1]. Algunos de estos resulatdos fueron expuestos en la siguiente presentación: On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A. Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petrópolis, Brasil, 2011 y han sido publicados en [33]: The Lmn–propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica, 140,1(2015), 11–33. En el Capítulo IV, desarrollamos la teoría de localización para las álgebras de Lukasiewicz m–generalizadas de orden n. En particular, para cada Lmn–álgebra L determinamos el álgebra de fracciones L[C] asociada a un conjunto ^-cerrado C de L. A continuación, introducimos la noción de 1–ideal en las Lmn–álgebras lo que nos permitió definir una topología F para ellas y el concepto de F-multiplicador. Luego, a partir de estas nociones construimos el álgebra de localización LF de L con respecto a F. Además, mostramos que la Lmn–álgebra de fracciones L[C] es un álgebra de localización. Posteriormente, definimos la noción de Lmn-álgebra de cocientes y probamos la existencia de la Lmn-álgebra maximal de cocientes. En la última sección de este capítulo nos dedicamos a analizar los resultados antes descriptos para el caso de las Lmn–álgebras finitas. En la siguiente comunicación presentamos algunos de estos temas: F–multipliers and localization of Lmn –algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas, Brasil, 2012 Cabe mencionar que los mismos han sido aceptados para su publicación en Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34]) En el Capítulo V, nos abocamos al estudio de las propiedades de las L2 n–álgebras finitas y finitamente generadas, obteniendo importantes propiedades de los átomos en estas álgebras. A continuación, describimos detalladamente a las álgebras simples. Además, determinamos la estructura de las L2 n–álgebras libres con un conjunto finito de generadores lies. Finalmente, indicamos un método para calcular el cardinal del álgebra libre con un conjunto finito n de generadores libres.

Ockham algebras have a great number of subvarieties, but the ones which are more closely related to De Morgan algebras are Km,0 with m > 1. They are constituted by Ockham algebras that satisfy the additional identity f2m(x) = x. Since Lukasiewicz- Moisil algebras of order n have a reduct which is a De Morgan algebra, T. Almada y J. Vaz de Carvalho ([1]) introduced a generalization of them, by switching this reduct by one which belongs to Km,0. Hence, they introduced the variety of m−generalized Lukasiewicz algebras of order n (or Lmn–algebras). Our aim in this thesis is to study in depth this variety. More precisely, we have organized this work in five chapters. In Chapter I, basic definitions are provided and we also do a review of the most important results in universal algebra. Furthermore, we have included as well a brief discussion on the class of standard systems of implicative extensional propositional calculi. Finally, we describe the localization for bounded distributive lattices. These topics have been included not only to simplify the reading but also to fix the notations and the definitions that we will use in this volume. In Chapter II, we began our study of m−generalized Lukasiewicz algebras of order n. First, and bearing in mind the fundamental role that the weak implication played in the study of Lukasiewicz algebras of order n, we introduced an implication operation on Lmn –algebras which generalize the latter. This notion enabled us to consider the notion of deductive systems from which we have given a new characterization of the congruence lattice on these algebras. It is worth mentioning that this result turned out to be very useful for describing the principal congruences on Lmn –algebras in a simpler way than the one obtained in [1], where the theory of Ockham’s algebras was applied. In addition, the aforementioned implication allowed us to define a fundamental element for what follows and, in this case, to obtain a new characterization of simple algebras and to describe the ternary discriminator polynomial for this variety. Some of the above results were presented in the following meetings: Sobre las m−´algebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A. Ziliani, LVIII Reuni´on Anual de Comunicaciones Cient´ıficas de la UMA, U.N. de Cuyo, 2008. La variedad discriminadora de las m-´algebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, LVIII Reuni´on Anual de Comunicaciones Cient´ıficas de la UMA, U.N. de Mar del Plata, 2009. Furthermore, they were published in [32]: Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C. A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198. In Chapter III, and in order to obtain a propositional calculus which has Lmn –algebras as the algebraic counterpart, we introduced another implication operation on these algebras which we called standard implication. This provided us with a crucial tool not only to solve the formulated problem, but also to give a new characterization of the congruence and the principal congruence lattice of these algebras, simpler than all the above obtained descriptions. Next, we described the propositional calculus, denoted by `mn , and we proved that it belongs to the class of standard systems of implicative extensional propositional calculi. Finally, the completeness theorem for `mn is obtained. It is worth noting that in this chapter we have given a positive answer to the problem posed in [1]. Besides, some of the topics presented in this chapter were previously discussed in the following event On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A. Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petr´opolis, Brasil, 2011. and they have been published in [33]: The Lmn –propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica, 140,1(2015), 11–33. In Chapter IV, we have developed the theory of localization for m−generalized Lukasiewicz algebras of order n. In particular, for each Lmn –algebra L we have determined the Lmn– algebra of fractions L[C] relative to an ^-closed system C of L. Later on, we introduced the notion of 1–ideal on Lmn –algebras which allows us to consider a topology F for them and the concept of F-multiplier. Furthermore, we have proved that the Lmn –algebra of fractions L[C] is an Lmn –algebra of localization. Moreover, we have defined the notion of Lmn –algebra of quotients and we have proved the existence of the maximal Lmn –algebra of quotients. By the end of this chapter, our attention is focused on analyzing the aforementioned results for the case of finite Lmn –algebras. Some of these results were presented in this report: F–multipliers and localization of Lmn –algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas, Brasil, 2012. Besides, it is worth mentioning that these topics have been accepted for publication in the Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34]). In Chapter V, our main aim was to study the properties of finite and finitely generated L2 n–algebras. In particular, we have obtained important results on the atoms of them. Next, we have provided an exhaustive description of the simple L2 n–algebras. Finally, we have determined the structure of the free L2 n–algebras with a finite set of free generators and we have also indicated a method to calculate the cardinal number of them in terms of the number of the free generators.