Álgebras autoinyectivas y extensiones triviales de álgebras monomiales

Abstract

En esta tesis se estudian álgebras autoinyectivas. Una subfamilia muy importante de las mismas la constituyen las llamadas álgebras Frobenius, que fueron introducidas por F. G. Frobenius en 1903. En el presente trabajo se establece un paralelismo entre este desarrollo clásico y el actual. Este enfoque nos permitió dar demostraciones alternativas de caracterizaciones conocidas para álgebras Frobenius y simétricas. Se presentan aquí las nociones de automorfismo de Nakayama, funtor de Nakayama y permutación de Nakayama, estableciendo la relación existente entre ellas. El carcaj de la extensión trivial T(A) de un álgebra de dimensión finita A = kQ=I fue descripto por Fernández y Platzeck en [FP]. En este trabajo describimos las relaciones de T(A) cuando A es un álgebra monomial, con lo que se obtiene una presentación de T(A) como cociente del álgebra de caminos de un carcaj por un ideal admisible de relaciones. Cuando A es además un álgebra gentil resolvemos el problema recíproco: dada un álgebra B = kQB=IB, determinar si B es la extensión trivial de un álgebra gentil. Caracterizamos tales álgebras B en base a propiedades de sus ciclos y mostramos cómo encontrar todas las álgebras gentiles A tales que T(A) _= B. Demostramos que las extensiones triviales de álgebras gentiles coinciden con las álgebras de grafo de Brauer con multiplicidad 1 en todos sus vértices, resultado obtenido por S. Schroll en [S] con otros métodos.

In this thesis we study selfinjective algebras. An important subfamily of this class of algebras consists of the so called Frobenius algebras, which were introduced by Frobenius in 1903. We establish here a parallel between the classical development and the present one. With this approach we were able to give alternative proofs of known characterizations of Frobenius and symmetric algebras. We recall the notions of Nakayama automorphism, Nakayama functor and Nakayama permutation and study the relationship between them. The quiver of the trivial extension T(A) of a finite dimensional algebra A = kQ=I was described by Fernández and Platzeck in [FP]. In this work we describe the ideal of relations for T(A) in case A is a monomial algebra. Thus we obtain a presentation for T(A) as a quotient of the path algebra of a quiver by an admissible ideal of relations. When A is, moreover, a gentle algebra, we solve the converse problem: given an algebra B = kQB=IB, determine whether B is the trivial extension of a gentle algebra. We characterize such algebras B through properties of the cycles of their quiver, and show how to obtain all gentle algebras A such that T(A) -= B. We prove that trivial extensions of gentle algebras coincide with Brauer graph algebras with multiplicity one in all vertices in the associated Brauer graph, result proven by S. Schroll in [S].