Teoría de la representación para las álgebras de Hilbert y para las álgebras de Hilbert con operadores modales

Abstract

Esta tesis tiene dos objetivos fundamentales. El primer objetivo es presentar y desa- rrollar una representación y dualidad topológica para variedades de álgebras que corres- ponden a los reductos {→} y {→, ∨} de la variedad de las álgebras de Heyting. Estas representaciones están basadas en un clase particular de espacios topológicos conocidos como espacios sober. Es un hecho bien conocido que toda álgebra de Heyting es repre- sentable como subálgebra del álgebra de Heyting de todos los subconjuntos crecientes de un conjunto ordenado. También es sabido que un álgebra de Heyting es representa- ble como una subálgebra del conjunto de todos los abiertos de un espacio topológico T0. Estas representaciones tienen muchas aplicaciones tanto en el estudio algebraico de es- tas estructuras como en las aplicaciones de la l ógica intuicionista Int y algunas de sus extensiones. Además, estas representaciones son la base para las conocidas dualidades topológicas de Priestley y de Stone para las álgebras de Heyting. Cuando miramos algún subreducto de las álgebras de Heyting, como por ejemplo, en las álgebras que correspon- den al fragmento implicativo, conocidas como álgebras de Hilbert, la teoría de represen- tación y dualidad desarrollada para las álgebras de Heyting no es directamente aplicable a estos fragmentos. El primer resultado que conocemos sobre representación de un álgebra de Hilbert se encuentra en la tesis de A. Diego [29]. En dicha tesis aparece un teorema de representación tipo Stone, pero este resultado no tuvo un impacto muy significativo ya que es insuficiente para desarrollar una dualidad categórica. El primer objetivo de esta tesis es, justamente, presentar una dualidad topológica completa para las álgebras de Hil- bert y extender esta dualidad a la variedad de las álgebras de Hilbert con supremo. Estos resultados están basados en los espacios topológicos conocidos como espacios sober y extienden a los dados por M. Stone [67]. Primero probamos que la categor´ıa formada por álgebras de Hilbert con semi-homomorfismos como morfismos es dualmente equivalente a la categoría de espacios de Hilbert con ciertas relaciones binarias. También obtenemos una dualidad para las álgebras de Hilbert con homomorfismos. Aplicamos estos resulta- dos para demostrar que el retículo de sistemas deductivos de un álgebra de Hilbert y el ret´ıculo de subconjuntos abiertos de su espacio de Hilbert dual, son isomorfos. Explo- ramos cómo esta dualidad está relacionada con la dada en [18] para álgebras de Hilbert finitas, y con la dualidad topológica desarrollada en [19] para álgebras de Tarski. Todos estos resultados son presentados en el Capítulo 3. La otra variedad asociada a un fragmento de la lógica Int que estudiamos es la va- riedad de las álgebras de Hilbert con supremo, i.e., álgebras de Hilbert donde el orden asociado es un supremo-semiret´ıculo. Extendemos la dualidad encontrada para las álge- bras de Hilbert al caso de las álgebras de Hilbert con supremo. Probamos que el conjunto ordenado de todos los ideales de un álgebra de Hilbert con supremo tiene estructura de retículo. Demostramos que en este retículo es posible definir una implicación, pero la estructura resultante no es un álgebra de Heyting ni tampoco es un semiretículo implica- tivo. Damos una descripción dual para el retículo de ideales de un álgebra de Hilbert con supremo. Estos resultados son presentados en el Capítulo 5. El segundo objetivo fundamental de esta memoria está centrado en estudiar algunas extensiones modales de las álgebras de Hilbert y de las álgebras de Hilbert con supre- mo. Estas extensiones corresponden a fragmentos de algunas extensiones modales de la l ógica intuicionista Int. En esta memoria nos hemos centrado únicamente en dos frag- mentos. Primero introducimos la variedad de álgebras de Hilbert con un operador mo- dal , llamadas H -álgebras. La variedad de H -álgebras es la contraparte algebraica del {→, }-fragmento de la lógica modal intuicionista IntK , al cual denotamos con IntK→. Estudiamos la teoría de representación y damos una dualidad topológica para la variedad de H -álgebras. Aplicamos estos resultados para probar que la l ógica modal implicativa IntK→ es canónica y por lo tanto es completa. Determinamos las álgebras simples y subdirectamente irreducibles en algunas subvariedades de H -álgebras. Tam- bien estudiamos una interesante variedad de álgebras, llamadas álgebras de Hilbert Lax. Todos estos resultados son presentados en el Caíıtulo 4. El otro fragmento que investigamos es el fragmento {→, ∨, ♦} de la lógica modal in- tuicionista IntK♦. Introducimos y estudiamos la variedad de H∨ ♦ -álgebras, las cuales son álgebras de Hilbert con supremo enriquecidas con un operador modal ♦. Damos una re- presentación topológica para estas álgebras usando la representación topológica obtenida para las álgebras de Hilbert con supremo. Consideramos algunas subvariedades particula- res de H∨ ♦ -álgebras. Estas variedades son la contraparte algebraica de algunas extensiones del fragmento implicativo de la l ógica modal intuicionista IntK♦. Usamos la representa- ción topológica obtenida para lasH∨ ♦ -álgebras para probar que la l ógica modal implicativa IntK→ ♦ es canónica, y en consecuencia la lógica IntK→ ♦ es completa. Tambi´en determi- namos las congruencias de las H∨ ♦ -álgebras en términos de ciertos subconjuntos cerrados del espacio asociado, y en términos de una clase particular de sistemas deductivos. Es- tos resultados nos permitieron caracterizar las H∨ ♦ -álgebras simples y subdirectamente irreducibles. Estos resultados son presentados en el Capítulo 6.

This thesis has two main objectives. The first objective is to present and develop a representation and a topological duality for some varieties of algebras corresponding to the reducts {→} and {→, ∨} of the variety of Heyting algebras. These representations are based on a particular class of topological spaces known as sober spaces. It is well- known that every Heyting algebra is representable as a subalgebra of Heyting algebra of all increasing subsets of a poset. Also, a Heyting algebra is representable as a subalgebra of the set of all open subsets of a topological space T0. These representations have many applications the algebraic study of these structures and applications of intuitionistic lo- gic Int and some of its extensions. Moreover, these representations are the basis for the known topological dualities of Priestley and Stone for Heyting algebras. When we look at some subreduct of Heyting algebras, for example, algebras corresponding to the implica- tive fragment, known as Hilbert algebras, representation theory and duality developed for Heyting algebras is not directly applicable to these fragments. The first result we know about representation of a Hilbert algebra is the thesis of A. Diego [29]. In this thesis a theorem of Stone representation type appears, but this result did not have a significant impact because this theorem is insufficient to develop a categorical duality. The first ob- jective of this thesis is precisely present a complete topological duality for Hilbert algebras and extend this duality to the variety of Hilbert algebras with supremum. These results are based on topological spaces known as sober spaces and extend those given by M. Stone [67]. First we prove that the category of Hilbert algebras with semi-homomorphisms is dually equivalent to the category of Hilbert spaces with certain relations.We also obtained a duality for Hilbert algebras with homomorphisms. We apply these results to prove that the lattice of the deductive systems of a Hilbert algebra and the lattice of open subsets of its dual Hilbert space, are isomorphic.We explore how this duality is related to the duality given in [18] for finite Hilbert algebras, and with the topological duality developed in [19] for Tarski algebras. All these results are presented in Chapter 3. The other variety associated to a fragment of the logic Int that we study is the variety of Hilbert algebras with supremum, i.e., Hilbert algebras where the associated order is a join-semilattice. We extend the duality for Hilbert algebras to the case of Hilbert algebras with supremum. We prove that the ordered set of all ideals of a Hilbert algebra with supremum has a lattice structure. We also see that in this lattice it is possible to define an implication, but the resulting structure is neither a Heyting algebra nor an implicative semilattice. We give a dual description of the lattice of ideals of a Hilbert algebra with supremum. These results are presented in Chapter 5. The second main objective of this memory is centered on studying some modal exten- sions of Hilbert algebras and Hilbert algebras with supremum. These extensions corres- pond to fragments of some modal extensions of intuitionistic logic Int. In this memory we have focused on only two fragments. First we introduce the variety of Hilbert algebras with a modal operator , called H -algebras. The variety of H -algebras is the alge- braic counterpart of the {→, }-fragment of the intuitionitic modal logic IntK , which we denoted by IntK→ . We study the theory of representation and we give a topological duality for the variety of H -algebras. We use these results to prove that the basic impli- cative modal logic IntK→ is canonical and therefore is complete. We also determine the simple and subdirectly irreducible algebras in some subvarieties of H -algebras. These results are presented in Chapter 4. The other fragment investigated is the fragment {→, ∨, ♦} of intuitionistic modal lo- gic IntK♦.We introduce and study the variety ofH∨ ♦ -algebras, which are Hilbert algebras with supremum endowed with a modal operator ♦. We give a topological representation for these algebras using the topological spectral-like representation for Hilbert algebras with supremum given in [22].We consider some particular varieties of H∨ ♦ -algebras. The- se varieties are the algebraic counterpart of extensions of the implicative fragment of the intuitionistic modal logic IntK♦. We use the topological representation for H∨ ♦ -algebras to prove that the implicative modal logic IntK→ ♦ is canonical, and consequently the logic IntK→ ♦ is complete. We also determine the congruences of H∨ ♦ -algebras in terms of cer- tain closed subsets of the associated space, and in terms of a particular class of deductive systems. These results enable us to characterize the simple and subdirectly irreducible H∨ ♦ -algebras. These results are presented in Chapter 6.