La cohomología de Hochschild de álgebras de cuerdas y su estructura de álgebra de Gerstenhaber

Abstract

Este trabajo es sobre la cohomología de Hochschild de k-áalgebras de dimensión finita HH*(A) = n>0 HHn(A): Los resultados obtenidos se refieren al cálculo explícito de los grupos HHn(A) cuando A es un álgebra de cuerdas y a la descripción de la estructura de álgebra de Gerstenhaber de HH*(A) cuando A es un álgebra monomial. En primer lugar, utilizando la resolución proyectiva de minimal de Bardzell, se hallan los grupos de cohomología de Hochschild de álgebras de cuerdas triangulares y de álgebras de cuerdas cuadráticas, no necesariamente triangulares, haciéndose un análisis riguroso de los elementos que son cociclos y cobordes del complejo asociado. Toda esta información es usada en la última parte de este trabajo. En segundo lugar construimos morfismos de comparación entre la resolución del radical y la resolución minimal de Bardzell en el caso de álgebras monomiales. Estos mofismos nos permiten definir la estructura de álgebra de Gerstenhaber de HH*(A) cuando A es un álgebra monomial cuyos grupos de cohomología HHn(A) han sido calculados a partir de la resolución de Bardzell. Finalmente, utilizando el morfismo de comparación y el conocimiento de los grupos de cohomología hallados en la primera parte de este trabajo, describimos la estructura de álgebra de Gerstenhaber de la cohomología de Hochschild de las álgebras de cuerdas triangulares y de las álgebras de cuerdas cuadráticas no necesariamente triangulares. En el caso triangular pudimos mostrar que la estructura de anillo conmutativo graduado de la cohomología de Hochschild es trivial y pudimos obtener una fórmula que nos permite calcular su estructura de álgebra de Lie graduada. En el caso cuadrático vimos que el morfismo de comparación adquiere una forma muy simple. En este caso usamos la información de los grupos de cohomología para encontrar condiciones sobre el carcaj asociado a estas álgebras que muestran cómo obtener estructuras no triviales.

This thesis is about the Hochschild cohomology of a finite dimensional k-algebra A HH*(A) = n>0 HHn(A): The results refer to the explicit calculation of the groups HHn(A) when A is a string algebra and the description of the Gerstenhaber algebra structure of HH*(A) when A is a monomial algebra. Firstly, using Bardzell's projective minimal resolution, we find the Hochschild cohomology groups of triangular string algebras and of quadratic algebras, and we make a rigorous analysis of the elements which are cocycles and coborders in the associated complex. All this information is used in the latter part of this work. Secondly, we construct comparison morphisms between the radical resolution and Bardzell's minimal resolution for monomial algebras. With these morphisms we define the Gerstenhaber algebra structure of HH*(A) when A is a monomial algebra whose cohomology groups are calculated using Bardzell's resolution. Finally, using the comparison morphisms and the knowledge of the cohomology groups found in the first part of this work, we describe the Gerstenhaber algebra structure of the Hochschild cohomology of A when A is a triangular string algebra and when A is a quadratic algebra. In the triangular case we show that the structure of commutative ring of the Hochschild cohomology is trivial, and we get a formula that allows us to calculate the structure of graded Lie algebra. In the quadratic case we show that the comparison morphisms take a very simple form, and we use the information about the cohomology groups to find conditions on the bound quiver associated to these algebras in order to get non-trivial structures.