Un estudio sobre lógicas basadas en t-normas continuas

Abstract

Esta tesis se centra en el estudio de la lógica de primer orden de t-normas continuas y algunos de sus fragmentos monádicos. Contribuye al campo de las lógicas difusas, una rama de las lógicas no clásicas, que permite deducciones lógicas con un grado de vaguedad o imprecisión. Investigadores como Hájek han propuesto el uso de t-normas, operaciones definidas en el intervalo real [0, 1], para lograr esto. En la lógica difusa estándar, las t-normas modelan conjunciones fuertes, mientras que otros conectivos se interpretan a través de operaciones derivadas del orden y/o la t-norma.

Nos concentramos en las t-normas continuas, que poseen una rica estructura algebraica, a saber, la estructura de las BL-álgebras, una variedad de retículos residuados

generados por t-normas continuas. La lógica básica, o lógica BL, sirve como la contraparte sintáctica de las lógicas con semántica en BL-álgebras. Notablemente, otras lógicas

no clásicas estudiadas previamente, como la lógica de Łukasiewicz, son casos particulares de lógicas basadas en BL-álgebras. Si las BL-álgebras tienen negación involutiva, forman MV-álgebras, correspondientes a la lógica proposicional de Łukasiewicz. El estudio de las lógicas de primer orden basadas en t-normas continuas, o lógicas de predicados difusos, es crucial en la lógica difusa. Siguiendo la tradición de Mostowski, interpretamos los cuantificadores como supremos e ínfimos en un conjunto ordenado. Comenzamos con el sistema BL∀ de Hájek, que axiomatiza la lógica de primer orden de BL-álgebras totalmente ordenadas. Una característica de estas lógicas es su naturaleza infinitaria, lo que nos lleva a introducir BL∀∞, una extensión que incorpora una regla y un axioma infinitarios. Demostramos que BL∀∞ es fuertemente completa con respecto a las t-normas continuas, y sus extensiones a la lógica de primer orden producto y la lógica de Łukasiewicz también son fuertemente completas. Además, exploramos extensiones modales de la lógica de Łukasiewicz, particularmente

la extensión S5, equivalente al fragmento monádico de la lógica de primer orden de Łukasiewicz. Realizamos un estudio algebraico de las MMV-álgebras, MV-álgebras enriquecidas

con operadores □ y ♢, mostrando que las álgebras finitamente subdirectamente irreducibles en esta variedad son álgebras funcionales. Esto lleva a un resultado de completitud

fuertemente finita para la t-norma de Łukasiewicz. Al extender la lógica S5 de Łukasiewicz con una regla infinitaria, logramos completitud fuerte con respecto a la t-norma de

Łukasiewicz. Finalmente, presentamos extensiones axiomáticas para modelos de universo acotado,

incorporando un axioma esquema que limita el número de factores subdirectos de la MV- álgebra subyacente, permitiendo de esta manera conseguir resultados de completitud para

esta extensión.

This thesis focuses on the study of first-order logic of continuous t-norms and some of their monadic fragments. It contributes to the field of fuzzy logics, a branch of non-classical logics, which allows for logical deductions with a degree of vagueness or imprecision. Researchers like Hájek have proposed using t-norms, operations defined on the real interval [0, 1], to achieve this. In standard fuzzy logic, t-norms model strong conjunctions, while

other connectives are interpreted through operations derived from order and/or the t- norm.

We concentrate on continuous t-norms, which possess a rich algebraic structure, na- mely, the structure of BL-algebras, a variety of residuated lattices generated by continuous

t-norms. The basic logic, or BL logic, serves as the syntactic counterpart of logics with semantics in BL-algebras. Notably, other previously studied non-classical logics, such as Łukasiewicz logic, are particular cases of logics based on BL-algebras. If BL-algebras have involutive negation, they form MV-algebras, corresponding to propositional Łukasiewicz logic. The study of first-order logics based on continuous t-norms, or fuzzy predicate logics, is crucial in fuzzy logic. Following Mostowski’s tradition, we interpret quantifiers as suprema and infima in an ordered set. We start with Hájek’s BL∀ system, which axiomatizes the first-order logic of totally ordered BL-algebras. A characteristic of these logics is their infinitary nature, leading us to introduce BL∀∞, an extension incorporating an infinitary rule and an axiom. We demonstrate that BL∀∞ is strongly complete concerning continuous t-norms, and its extensions to first-order product logic and Łukasiewicz logic are also strongly complete. Additionally, we explore modal extensions of Łukasiewicz logic, particularly the S5

extension, equivalent to the monadic fragment of first-order Łukasiewicz logic. We con- duct an algebraic study of MMV-algebras, enriched MV-algebras with operators □ and

♢, showing that finitely subdirectly irreducible algebras in this variety are functional al- gebras. This leads to a finitely strong completeness result for the Łukasiewicz t-norm. By

extending S5 Łukasiewicz logic with an infinitary rule, we achieve strong completeness concerning the Łukasiewicz t-norm.

Finally, we present axiomatically complete extensions for bounded universe models, in- corporating an axiom scheme that limits the number of subdirect factors of the underlying

MV-algebra, leading to completeness results.