Órbitas periódicas en sistemas dinámicos y el método de análisis homotópico

Abstract

En esta tesis, profundizamos en la exploración y análisis de soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales ordinarias y con retardo, aprovechando el potencial del

Método de Análisis Homotópico (HAM). La relevancia de las órbitas periódicas en di- versos campos, desde la física hasta la biología, subraya su importancia para la com- prensión de los comportamientos a largo plazo de los sistemas. En el ámbito de las

ecuaciones no lineales, donde a menudo las soluciones analíticas resultan esquivas,

el HAM emerge como una herramienta potente, ofreciendo un enfoque semianalíti- co para obtener soluciones aproximadas mediante la homotopía, que es un concepto

clave de la topología. Presentamos el HAM reformado, que es una adaptación original del HAM para la obtención de aproximaciones de soluciones periódicas. Una innovación importante de esta técnica radica en el rol que le asignamos al parámetro de frecuencia ω de la órbita,

que al ser introducido en el operador no lineal, le otorga al HAM reformado una carac- terística espectral. Posteriormente determinamos esta frecuencia, junto con el clásico

parámetro de convergencia h del HAM, mediante un enfoque heurístico. El método que proponemos demuestra su eficiencia al proporcionar aproximaciones analíticas precisas, eliminando la necesidad de expandir la frecuencia y amplitud de la órbita en

serie respecto al parámetro de la homotopía. Este método es aplicable tanto a ecuacio- nes diferenciales ordinarias como con retardo.

Nuestro trabajo también se aboca al estudio detallado de un modelo biológico de

interés de 6 dimensiones que captura la dinámica de la infección por el virus linfotró- pico de células T de humanos tipo I (HTLV-I), la respuesta inmunitaria y el desarrollo

de la leucemia de células T del adulto (ATL). Mostramos que el sistema refleja com- portamientos interesantes como bifurcaciones de Hopf y oscilaciones alrededor de un

centro no lineal, a la vez que indagamos en las interpretaciones desde el punto de vista

médico de los resultados hallados. Este modelo biológico también sirve como cam- po de prueba para el Método de Análisis Homotópico por múltiples etapas (MSHAM),

confirmando su efectividad en sistemas que abarcan periodos temporales prolonga- dos.

Finalmente, presentamos el concepto de isocronía respecto de un parámetro, que

involucra familias de órbitas obtenidas variando un parámetro. Este concepto se apli- ca a ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, ordinarias y con retardo.

Enunciamos los teoremas que permiten determinar bajo qué condiciones una familia

de órbitas periódicas exhibe una frecuencia constante ante variaciones de un paráme- tro específico del sistema. Probamos la isocronía de la familia de ciclos analizando un

sistema lineal auxiliar asociado al problema no lineal original, con una metodología esencialmente geométrica. Aplicamos el método a ODEs y discutimos la extensión de la técnica para ecuaciones con retardo.

In this thesis, we delve into the exploration and analysis of periodic solutions in ordinary and delay differential equations, harnessing the potential of the Homotopy Analysis Method (HAM). The relevance of periodic orbits across diverse fields, from

physics to biology, underscores their importance for understanding long-term beha- viors of systems. In the realm of nonlinear equations, where analytical solutions are

often elusive, HAM emerges as a powerful tool, offering a semi-analytic approach to obtain approximate solutions through homotopy, which is a key concept in topology.

We present the reformed HAM, which is an original adaptation of HAM for obtai- ning approximations to periodic solutions. An important innovation of this technique

lies in the role we assign to the frequency parameter of the orbit, which, when intro- duced into the nonlinear operator, imparts a spectral characteristic to the reformed

HAM. Subsequently, we determine this frequency, along with the classic convergence

parameter h of HAM, through a heuristic approach. The method we propose demons- trates its efficiency in providing accurate analytical approximations, eliminating the

need to expand the frequency and amplitude of the orbit in series with respect to the homotopy parameter. This method is applicable to both ordinary and delay differential equations.

Our work also focuses on the detailed study of a 6-dimensional biological model of interest that captures the dynamics of infection by Human T-Cell Lymphotropic Virus Type I (HTLV-I), the immune response, and the development of Adult T-Cell Leukemia

(ATL). We show that the system exhibits interesting behaviors such as Hopf bifurca- tions and oscillations around a nonlinear center, while exploring medical interpreta- tions of the findings. This biological model also serves as a testbed for the Multi-Stage

Homotopy Analysis Method (MSHAM), confirming its effectiveness in systems span- ning long time periods.

Finally, we present the concept of isochrony with respect to a parameter, which in- volves families of orbits obtained by varying a parameter. This concept is applied to

second-order nonlinear differential equations, both ordinary and with delay. We state the theorems that allow determining under what conditions a family of periodic orbits exhibits a constant frequency in the face of variations in a specific parameter of the system. We test the isochrony of the family of cycles by analyzing an auxiliary linear system associated with the original nonlinear problem, using an essentially geometric

methodology. The method applies to ODE’s and we discuss the extension of the tech- nique for a delay differential equations.