Avances en teoría de modelos : lógicas de primer orden y teoría paraconsistente de conjuntos

Abstract

Antonio Monteiro realizó una caracterización de las congruencias maximales para ciertas variedades semisimples, permitiendo presentar un teorema de representación de las

mismas; que bajo condiciones específicas, este teorema se le puede presentar una prueba

unificada. En esta tesis, mostramos que esta noción de congruencia maximal está íntimamente ligada a la noción de teorías maximales de Henkin para ciertas familias de lógicas

de la literatura de lógicas algebraicas. Para ver esta relación, estudiamos la clase de álgebras de Hilbert n-valoradas con supremo enriquecidas con operadores de Moisil. Para esta

clase de álgebras, presentamos un cálculo proposicional y de primer orden correctos y completos. Además, mostramos cómo funciona esta relación para lógicas de variedades

semisimples estudiadas en la escuela de Monteiro. Ampliando el alcance de las aplicaciones, presentamos resultados de correctitud y completitud para lógicas paraconsistentes

de primer orden a través de una semántica matricial no determinista. A pesar de que estas lógicas no son algebraizables con el método general de Blok-Pigozzi, presentan un comportamiento algebraico que nos permite dar una presentación simplificada. Por otro lado, construimos modelos valorados sobre estructuras de Fidel siguiendo la

metodología desarrollada para modelos valorados de Heyting; recordemos que las estructuras de Fidel no son álgebras en el sentido del álgebra universal. Tomando modelos que

verifican la ley de Leibniz, podemos probar que todos los axiomas de la teoría de conjuntos de ZF son válidos sobre estos modelos. La prueba se basa fuertemente en la existencia de modelos paraconsistentes de la ley de Leibniz. En este escenario, se discute la dificultad de tener modelos de ley algebraicos paraconsistentes para fórmulas con negación usando el mapeo interpretación estándar, mostrando que la existencia de modelos de la ley de Leibniz es esencial para obtener modelos para ZF.

Antonio Monteiro gave a characterization of maximal congruences in certain semisimple varieties in order to present a representation theorem for them. Under specific

conditions, this theorem can be presented with the same proof for every semisimple variety considered by him. In this thesis, we show that this notion of maximal congruence

is closely linked to Henkin’s notion of maximal theories for certain families of logics from the literature of algebraic logic. To see this relation, we study the class of n-valued Hilbert

algebras with supremum enriched with Moisil operators. For this class of algebras, we present a sound and complete propositional and first-order calculus. Moreover, we show how

this relation works for logics from semisimple varieties studied in the Monteiro’s school. Extending the scope of applications, we present soundness and completeness results for

some first-order paraconsistent logics through non-deterministic matrix semantics. Despite the fact that these logics are not algebraizable with the Blok-Pigozzi’s method, they

display an algebraic behaviour that allows us to give a simplified presentation. On the other hand, we build Fidel-structures valued models following the methodology developed for Heyting-valued models; recall that Fidel structures are not algebras in the universal algebra sense. Taking models that verify Leibniz law, we are able to prove that all set-theoretic axioms of ZF are valid over these models. The proof is strongly based on the existence of paraconsistent models of Leibniz law. In this setting, the difficulty of having algebraic paraconsistent models of law for formulas with negation using the standard interpretation map is discussed, showing that the existence of models of Leibniz law is essential to getting models for ZF.