Producto de Kronecker y sus aplicaciones

Abstract

En el espacio de matrices se pueden definir distintas operaciones, cada una de las cuales presenta aplicaciones diferentes. El producto usual de matrices representa la composición de transformaciones lineales, y el mismo está definido sólo entre matrices que respetan la siguiente propiedad: el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. El producto de Kronecker se define para cualquier par de matrices, y representa el producto tensorial de las transformaciones lineales asociadas a cada una de las matrices. Este producto es asociativo, bilineal, no conmutativo, y se comporta bien con la inversa y con el cálculo de valores singulares. En el trabajo [I. Ojeda, Kronecker square roots and the block vec matrix, Amer. Math. Monthly 122 (2015), no. 1, 60–64] se estudia la existencia de las raíces cuadradas del producto de Kronecker, esto es, dada una matriz A se estudia, bajo qué condiciones, existe una matriz B tal que A=B⊗B. Estas condiciones se describen en función de la simetría y del rango de una matriz especial construida a partir de A. El propósito de este trabajo es establecer condiciones necesarias y suficientes para la existencia de raíces enésimas de Kronecker de una matriz dada. Empleando propiedades del producto de Kronecker y de la vectorización de matrices, construimos una matriz especial cuyas características nos permiten decidir cuándo una matriz es potencia de Kronecker de otra matriz dada. En caso afirmativo, describimos un algoritmo que nos permite calcular dicha matriz. En caso negativo, encontramos cotas de min┬⁡〖∥A-X^(⨂n ) ∥_2 〗 en función de los valores singulares de A. Así mismo se estudian dos problemas de Procrusto que involucran sumas y potencias de Kronecker. Los resultados teóricos desarrollados son aplicados a problemas vinculados a la identificación de grafos de Kronecker y a la resolución de ciertas ecuaciones matriciales.

Different operations can be defined in the space of matrices, each of which has different applications. The usual product of matrices represents the composition of linear transformations, and it is defined only between matrices that respect the following property: the number of columns in the first matrix coincides with the number of rows in the second one. The Kronecker product is defined for any pair of matrices, and represents the tensor product of the linear transformations associated with each of these matrices. This product is associative, bilinear, non-commutative, and behaves well with the inverse and with the calculation of singular values. The existence of square roots for the Kronecker product is studied in the paper [I. Ojeda, Kronecker square roots and the block vec matrix, Amer. Math. Monthly 122 (2015), no. 1, 60–64], that is, given a matrix A, there are certain conditions that ensures the existence of a matrix Bsuch that A=B⨂B. These conditions are described in terms of the symmetry and the rank of a special matrix associated to A. The purpose of this work is to establish necessary and sufficient conditions for the existence of n-th roots of Kronecker of a given matrix. Using properties of the Kronecker product and of the vectorization of matrices, we construct a special matrix whose characteristics allow us to decide when a matrix is the Kronecker power of another given matrix. If so, we describe an algorithm that allows us to find such matrix. If not, we find bounds of min┬⁡〖〖∥A-X^(⨂n)∥〗_2 〗 in terms of the singular values of A. Finally we study two Procrusto problems involving Kronecker sums and powers. The theoretical results developed are applied to problems related to the identification of Kronecker graphs and the resolution of certain matrix equations.