Subvariedades de MV-álgebras monádicas y de sus subreductos implicativos monádicos

Abstract

Esta tesis está dividida en dos partes. La primera parte está dedicada al estudio de la variedad MMV de las MV-álgebras monádicas y de sus subreductos implicativos. En primer lugar, demostramos que MMV está generada por sus miembros finitos, caracterizamos los miembros indescomponibles por medio del álgebra de Boole monádica de sus elementos complementados y describimos el fragmento del reticulado de subvariedades que se encuentra contenido en V([0; 1]k), para cada k entero positivo, dando una axiomatización para dichas subvariedades. Estudiamos, además, las subvariedades simples que no están contenidas en V([0; 1]k) para ningún k. Nuestro segundo objetivo es extender el funtor �� de Mundici a la categoría de las MV-álgebras monádicas. En tal sentido, definimos el concepto de l-grupo monádico y establecemos una equivalencia natural entre la categoría de los l-grupos monádicos y la categoría de las MV-álgebras monádicas. También estudiamos las congruencias de un l-grupo monádico y las caracterizamos por medio de ciertos l-ideales que llamamos l-ideales monádicos. Probamos que el reticulado de l-ideales monádicos de un l-grupo monádico G es isomorfo al reticulado de l-ideales de EG. Demostramos que todo l-grupo monádico es producto subdirecto de una familia de l-grupos monádicos {Gi : iE I} donde EGi es una cadena para todo i E I. Por último, damos algunas aplicaciones de la equivalencia obtenida. Dedicamos un capítulo al estudio de la clase de los {O, -, A,1}-subreductos de lasMV-álgebras monádicas, esto es, la clase de los subreductos hoop monádicos de las MV-álgebras monádicas. Demostramos que esta clase forma una variedad, e introducimos una axiomática para estos subreductos hoop monádicos. Caracterizamos a los miembros subdirectamente irreducibles de la variedad y determinamos las subvariedades de ancho k.En el último capítulo de esta primera parte, estudiamos la clase de los subreductos implicativos monádicos de las MV-álgebras monádicas, esto es, los{O, -,A,1}-subreductos de las MV-álgebras monádicas. Demostramos que esta clase forma una variedad, e introdu-cimos una axiomática para la misma. Caracterizamos sus miembros subdirectamente irreducibles, describimos el reticulado de subvariedades y damos una base ecuacional para cada una de las subvariedades propias.La segunda parte de esta tesis está dedicada a obtener representaciones topológicas de ciertas álgebras de implicación. En primer lu-gar, obtenemos una representación topológica para las álge-bras de implicación monádicas, extendiendo la representación topológica de las álgebras de implicación. Toda álgebra de implicación monádica es representada como una unión de una familia única de filtros monádicos, dentro de una adecuada álgebra de Boole monádica. Introducimos la noción de espacio implicativo monádico, y probamos que existe una equivalencia dual entre la categoría de las álgebras de implicación monádi-cas y la categoría de los espacios implicativos monádicos. También obtenemos una representación topológica para las álgebras -implicativas de Lukasiewicz trivalentes. Describimos a toda álgebra -implicativa de Lukasiewicz trivalente como la unión de una familia única de filtros implicativos de una cierta álgebra de Lukasiewicz trivalente. Introducimos la noción de espacio topológico implicativo 3-valuado, y probamos que existe una equivalencia dual entre la categoría de los mismos y las álgebras -implicativas de Lukasiewicz trivalentes. Como aplicación describimos el espacio implicativo 3-valuado del álgebra -implicativa de Lukasiewicz trivalente libre.

This thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the variety MMV of monadic MV-algebras and its implicative subreducts. First, we show that MMV is generated by its finite members and we characterize the indecomposable members using the monadic Boolean algebra of their complemented elements. We describe the fragment of the lattice of subvarieties that is con-tained in V([0,1]k), for each positive integer k, and we give an axiomatization of these subvarieties. We also study simple subvarieties that are not contained in V([0, 1]k) for any k.Our second objective is to extend Mundici`s functor �� to the category of monadic MV-algebras. More pre-cisely, we define monadic l-groups and we establish a natural equivalence between the category of monadic MV-al-gebras and the category of monadic l-groups with strong unit. We give some applications. We study the lattice of congruences of a monadic l-group G and we prove that this lattice is isomorphic to the lattice of monadic l-ideals and also to the lattice of l-ideals of 9G. We prove that every monadic l-group is a subdirect product of a family of monadic l-groups {Gi: i E I}such that every EGi is a chain. We devote a chapter to the study of the class of {O,-A,1}-subreducts of monadic MV-algebras. We prove that this class is an equational class and we introduce a set of equations that describe this variety. We characterize the subdirectly irreducible members and the lattice of con-gruences of every algebra. We describe the subvarieties of width k. In the last chapter of this part, we study the class of {-,A,1}-subreducts of monadic MV-algebras. We introduce the equations that characterize this class and we prove that this class is a variety. We characterize the subdirect irreducibles members and the lattice of con-gruences of every algebra. We describe completely the lattice of subvarieties and we give a equational basis for every proper subvariety. The second part of this thesis is devoted to getting topological representations for certain implication algebras. First, we extend the topological representation for implication algebras to a topological representation for monadic implication algebras. Every monadic implication algebra is represented as a union of a unique family of monadic filters of a suitable monadic Boolean algebra. Inspired by this representation, we introduce the notion of a monadic implication space, and we prove a dual equivalence between the category of monadic implication algebras and the category of monadic implication spaces. We also obtain a topological represen-tation for three-valued Lukasiewicz -implication alge-bras. Every Lukasiewicz -implication algebras is repre-sented as a union of a unique family of implication filters of a suitable three-valued Lukasiewicz algebras. Inspired in this representation, we introduce the notion of topological three-valued implication space, and we prove a dual equivalence. As an application, we describe the space of free three-valued Lukasiewicz -implication algebras.