Dinámica de sistemas ingenieriles con retardos temporales

Abstract

Una gran parte de los sistemas en ingeniería, y en general, de los fenómenos encontrados en la naturaleza, están afectados por retardos temporales. Es decir, que la evolución de estos sistemas está gobernada no sólo por su estado actual sino por su historia pasada, es decir, estados previos de los mismos. Cuando este comportamiento se intenta reflejar utilizando un modelo matemático adecuado, debe hallarse una aplicación (una función) que permita describir la evoluci ón de dicho sistema en función del estado presente y pasado del sistema. Las denominadas Ecuaciones Diferenciales Funcionales Retardadas (EDFRs) resultan apropiadas para desarrollar este tipo de modelos. Estas ecuaciones son más complicadas que las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), que a menudo se utilizan para modelar sistemas en ingeniería y otras áreas. En general, aún para las EDFRs más simples, las nociones de espacio de estados, de condiciones iniciales, etc., no son simples de definir. Normalmente, el estado del sistema pertenece a un espacio infinito-dimensional. También, las ecuaciones características que resultan poseen infinitas soluciones, a diferencia de las ecuaciones características que se obtienen para las EDOs. De este modo, el análisis de EDFRs no es una tarea simple, y requiere el manejo de herramientas que en general son difíciles de comprender por los profesionales de las ingenierías. Es por ello que el desarrollo de técnicas para el estudio de estas ecuaciones, que involucren conceptos de común conocimiento a los ingenieros, cobra vital importancia. En esta tesis, se propone estudiar EDFRs utilizando una técnica analítica basada en el teorema gráfico de bifurcación de Hopf, que se conoce como Método en Frecuencia (MF). Esta herramienta, en principio se desarrolló para detectar la aparición de soluciones periódicas en sistemas descriptos por EDOs y posteriormente se adaptó para estudiar algunos tipos de EDFRs. Partiendo de estos últimos avances, se provee una mejora de la técnica que contempla casos más generales de EDFRs, permitiendo el estudio de muchos sistemas de interés. En primer lugar, se analizan distintas variantes del oscilador de van der Pol sujeto a retardos. Además, como aplicación principal de los resultados, se desarrolla el estudio de sistemas de control de congesti ón de datos en internet. Complementando los resultados analíticos con los obtenidos mediante un programa específico, se detectan escenarios dinámicos complejos que no se han reportado antes para estos sistemas. Por otra parte, se aborda el estudio de sistemas descriptos por ecuaciones a diferencias con retardos, utilizando una variante (ya desarrollada) del MF. Se muestra cómo en sistemas relativamente simples, la ocurrencia de dinámicas complejas puede ser provocada (o evitada) manipulando las propiedades del retardo. Se proveen condiciones explícitas para la ocurrencia de la denominada resonancia fuerte 1 : 2, que causa la interacción entre bifurcaciones de doble período y de Neimark-Sacker. Por último, se provee también una extensión del MF para el estudio de ecuaciones diferenciales con retardos distribuidos (EDRDs). Si bien estas ecuaciones tienen un amplio campo de aplicación en sistemas biológicos, también se han utilizado en redes neuronales y osciladores acoplados. La variante del MF que se provee para el análisis de EDRDs constituye una generalización de los resultados obtenidos para ecuaciones con retardos constantes. Además, el enfoque frecuencial posee ciertas ventajas computacionales cuando se lo compara con otras técnicas más clásicas.

A considerable number of systems in engineering, and in general, of natural phenomena, are affected by time-delays. The evolution of this kind of systems is ruled not only by their present states but also by their past history, i.e., previous states of these systems. When we attempt to describe this behavior with a proper mathematical model, we must find a map (a function) which allows us to describe the system evolution from its present and past states. The so-called Retarded Functional Diferential Equations (RFDEs) are appropriate for developing such kind of models. These equations are much more complex than Ordinary Diferential Equations (ODEs), which are used commonly to model systems in engineering and other areas. In general, even for the simplest EDRFs, the concepts of state-space, initial conditions, etc., are not easy to define. Commonly, the state of the system belongs to an infinite-dimensional space. Also, the derived characteristic equations have infinite solutions, in contrast to the corresponding characteristic equations obtained for ODEs. Thus, the analysis of EDFRs is not a simple task, and requires the command of tools which are in general hard to be understood by professionals in engineering. For this reason, the development of techniques for studying such equations, involving common engineering concepts, is highly important. In this Thesis, the utilization of an analytic technique called Frequency-Domain Approach (FDA), based on the graphical Hopf bifurcation theorem, is proposed. This tool was frstly developed for detecting periodic solutions in ODEs systems, and later was extended for the study of some kind of RFDEs. Starting from these last advances, we provide an improvement of the technique which includes more general cases of RFDEs, allowing the analysis of many systems of interest. In the beginning, different schemes of the time-delayed van der Pol equation are analyzed. Moreover, as the main application, the study of internet congestion control systems is performed. Complementing the analytic results with those obtained from a specifc program, some complex dynamical scenarios, which are not yet reported for this kind of systems, are detected. On the other hand, the study of systems described by diference equations is covered, through a variant (already developed) of the FDA. It is shown how in relatively simple systems, the appearance of complex dynamics can be provoked (or avoided) handling the delay properties. Explicit conditions for the existence of strong 1 : 2 resonances, which causes the interaction between period-doubling and Neimark-Sacker bifurcations, are provided. Finally, an extension of the FDA for diferential equations with distributed delays (DEDDs) is provided. Despite the fact that these equations are mainly applied in biological systems, they have been also used in neural networks and coupled oscillators. The variant of the FDA provided for DEDDs represents a generalization of results obtained for constant delays equations. Moreover, the FDA has some computational advantages when compared to more classical techniques.