Sobre la lógica que preserva grados de verdad asociada a las álgebras de Stone involutivas

Abstract

En este trabajo estudiamos a la lógica que preserva grados de verdad asociada a la clase de las álgebras de Stone involutivas (denotada por S). Estas álgebras fueron introducidas por Cignoli y Sagastume ([12, 13]) en conexión con la teoría de las álgebras de Lukasiewicz{Moisil n{valuadas. Existen diferentes maneras de relacionar una lógica con una clase dada de álgebras (cf.[35]). El estudio de las lógicas que preservan grados de verdad se remonta a Wójcicki en su libro de 1988 [49], en el contexto de la lógica de Lukasiewicz, y luego extendido en [5, 21, 22, 23] entre otros. Esto sigue un patrón muy general que puede ser considerado para cualquier clase de estructura de valores de verdad con un orden definido sobre ellos. El objetivo es explotar la multiplicidad de valores, considerando una relación de consecuencia que preserve cotas inferiores en lugar de solo preservar el último elemento del orden (el valor 1). En el Capítulo 1, repasamos todas las nociones y resultados conocidos de álgebra universal y dualidades topológicas (de Priestley) que son necesarias para el desarrollo posterior. También, repasamos nociones básicas de la teoría de las lógicas paraconsistentes, exhibimos un ejemplo importante y demostramos resultados conocidos. En el Capítulo 2, introducimos la noción de álgebra de Stone involutiva. Probamos que ésta es una clase ecuacional de álgebras, es decir, S es una variedad. Exhibimos la relación de éstas con otras clases de álgebras como los retículos pseudocomplementados y las álgebras de Lukasiewicz trivalentes. Mostramos ejemplos importantes como también exhibimos un método para obtener álgebras de Stone involutivas de conjuntos. Además, repasamos la dualidad topológica estilo Priestley para las S-álgebras, dada por Cignoli y Sagastume en [13], y sus aplicaciones. Finalmente, en el Capítulo 3, introducimos la lógica que preserva grados de verdad asociada a las álgebras de Stone involutivas denominada Six. Mostramos que ésta es una lógica multivaluada (con seis valores de verdad) y que queda determinada por un número finito de matrices finitas (cuatro matrices). Probamos, además, que Six es una lógica paraconsistente en la que es posible definir un operador de consistencia y, por lo tanto, Six resulta ser una Lógica de la Inconsistencia Formal (LFI)(ver [7]). Para finalizar este capítulo, estudiamos la teoría de prueba de Six proveyendo un cálculo estilo Gentzen (cálculo de secuentes) y probando los correspondientes teoremas de correctitud, completitud y principio de inversión. Todos los resultados de este capítulo son originales y fueron aceptados para su publicación en L. Cantú y M. Figallo, On the logic that preserves degrees of truth associated to involutive Stone algebras. Por aparecer en Logic Journal of the IGPL. https://doi.org/10.1093/jigpal/jzy071

In this thesis, we study the logic that preserves degrees of truth associated to the class of involutive Stone algebras (denoted by S). These algebras were introduced by Cignoli and Sagastume (see [12, 13]) in connection with the theory of n{valued Lukasiewicz{Moisil algebras. There are different ways of relating a logic to a given class of algebras (cf.[35]). The study of logics that preserves degrees of truth goes back to Wójcicki in his book of 1988 [49], in the context of the Lukasiewicz logic, and then extended in [5, 21, 22, 23] among others. This approach follows a very general pattern that can be considered for any class of truth structure endowed with an ordering relation; and which intend to exploit manyvaluedness focusing on the notion of inference that results from preserving lower bounds of truth values, and hence not only preserving the greatest element of the order (the value 1). In Chapter 1, we recall all the notions of universal algebra, theory of topological dualities (Priestley) which are necessary for what follows. Also, we recall basic notions of the theory of paraconsistent logics, we exhibit examples and show well-known results of the theory . In Chapter 2, we introduce the notion of involutive Stone algebra. We prove that it is an equational class, that is, S is a variety. We exhibit the relation of these algebras with other well- known algebraic structures such as pseudocomplemented lattices and three-valued Lukasiewicz algebras. We show important examples of involutive Stone algebras and describe a method for constructing involutive Stone algebras of sets. Besides, we recall the Priestley{style topological duality for the S-algebras, given by Cignoli and Sagastume in [13], and its applications. Finally, in Chapter 3, we introduce the logic that preserves degrees of truth associated to involutive Stone algebras named Six. We prove that this is a multy{valued logic (with six truth values) and that it can be determined by a finite number of finite matrices (four matrices). We show that Six is a paraconsistent logic in which it is possible to define a consistency operator and, therefore, Six turns out to be a Logic of Formal Inconsistency (LFI)(see [7]). To end this chapter, we study the theory of truth of Six by providing a Gentzen style calculus (sequent calculus) for it and by proving the corresponding soundness, completeness and inversion principle theorems. All these results are original and were accepted for publication in L. Cantú and M. Figallo, On the logic that preserves degrees of truth associated to involutive Stone algebras. To appear in Logic Journal of the IGPL. https://doi.org/10.1093/jigpal/jzy071