Resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales sobre álgebras de post k-cíclicas

Abstract

En el trabajo An equivalence between Varieties of ciclic Post Algebras and Varietiesgenerated by a finite field [1] demostramos una equivalencia entre la variedad V(Lp;k) generada por el álgebra de Post k-cíclica simple de orden p, Lp;k y la variedad V(F(pk)) generada por el cuerpo con pk elementos [F(pk);+; .; F(p)]. La existencia de una interpretación entre ambas variedades nos ha permitido estudiar la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales sobre un álgebra Lp;k, utilizando técnicas usuales del Álgebra Conmutativa en un problema propio de la Lógica Algebraica. En Resolution of Algebraic Systems of Equations in the Variety of Cyclic Post Algebras [13] mostramos un camino para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas sobre una álgebra de Post cíclica de orden p, con p primo, utilizando la interpretación anterior, bases de Gröbner y algoritmos programados en Maple. En esta tesis describimos un método contructivo que permite obtener a partir de un cuerpo [F(pk);+; . ; F(p)], un álgebra de Post k--cíclica de orden p, con p primo positivo y k > 1. Las operaciones del álgebra de Post cíclica se expresan como términos en el lenguaje del cuerpo, y recíprocamente, las operaciones del cuerpo como términos en el lenguaje del álgebra de Post k-cíclica. Los algoritmos programados en Maple muestran cómo calcular estas operaciones de manera efectiva. De esto se deduce una interpretación 1 entre la variedad V(Lp;k) y la variedad V(F(pk)), y una interpretación 2 de V(F(pk)) en V(Lp;k) tal que 2 1 (B) = B para toda álgebra B 2 V(Lp;k) y 1 2(R) = R para todo R 2 V(F(pk)). Esta equivalencia permite analizar la existencia y búsqueda de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales en Lp;k[X1,...,Xn]. Mostramos en este trabajo dos caminos diferentes para la resolución de estos sistemas. El primer camino consiste en aplicar la interpretación 1 para obtener la expresión de una ecuación algebraica postiana en el lenguaje de F(pk)[X1,...,Xn] y así poder expresar todas las ecuaciones del sistema en F(pk)[X1,...,Xn]. De esta forma es posible buscar una base de Gröbner del ideal generado por los polinomios del sistema, analizar la existencia de soluciones y organizar su búsqueda. Aplicando luego la interpretación 2 obtenemos un sistema equivalente al original en el lenguaje postiano de Lp;k[X1,...,Xn]. Completamos esta idea presentando varios ejemplos que explican detalladamente el método propuesto junto con los algoritmos que muestran a un mismo polinomio en ambos anillos. El segundo camino consiste en definir el concepto de base de Gröbner de un ideal I en Lp;k[X1,...,Xn] utilizando nuevamente las interpretaciones 1 y 2. Explicamos este proceso en general y en el caso particular de p = 2 y k = 1, damos un algoritmo de división y un teorema para calcular el S-polinomio de dos polinomios en dos variables. Enunciamos las dificultades que se presentan al buscar directamente una base de Gröbner de un ideal I en Lp;k[X1,...,Xn] cuando p > 3, destacando que a pesar de las mismas, resulta interesante poder dividir en un anillo de polinomios sobre una estructura algebraica ordenada.

In the work An equivalence between Varieties of ciclic Post Algebras and Varieties generated by a finite field [1] we proved an equivalence between the variety V(Lp;k) generated by the simple k-cyclic Post algebra of order p, Lp;k, and the variety V(F(pk)) generated by the finite field with pk elements [F(pk);+; .; F(p)]. The existence of an interpretation between both varieties has let us study the resolution of algebraic systems of equations over an algebra Lp;k, using usual techniques of Commutative Algebra in a problem of Algebraic Logic. In Resolution of Algebraic Systems of Equations in the Variety of Cyclic Post Algebras [13] we show a way to solve an algebraic system of equations over a cyclic Post algebra of order p, with p prime, using the above interpretation, Gröbner bases and algorithms programmed in Maple. In this thesis, we describe a constructive method which lets obtain from a field [F(pk);+; .; F(p)], a k-cyclic Post algebra of order p, with p prime and k>1. The Post cyclic algebra operations are expressed as terms in the language of the field, and conversely, the field operations as terms in the language of cyclic Post algebras. The algorithms programmed in Maple show how to calculate these operations effectively. From this, we deduce an interpretation 1 between the variety V(Lp;k) and the variety V(F(pk)) and an interpretation 2 of V(F(pk)) into V(Lp;k) such that 2 1(B) = B for every B 2 V(Lp;k) and 1 2(R) = R for every R 2 V(F(pk)). This equivalence lets us analyze the existence and search for solutions of an algebraic system of equations in Lp;k[X1,...,Xn]. In this work we show two differents ways for the resolution of these systems. The first way consists in applying the interpretation 1 in order to obtain the expression of a postian algebraic equation in the language of F(pk)[X1,...,Xn] and so we could show all the equations of the system in F(pk)[X1,...,Xn]. In this way, it is possible to find a Gröbner base of the ideal generated by the polynomials of the system, analyze the existence of solutions and organize its search. We complete this idea giving some examples which explain in detail the proposed method with the algorithms which show the same polynomial in both rings. The second way consists in defining the concept of Gröbner base of an ideal in Lp;k[X1,...,Xn] using again the interpretations 1 and 2. We explain this process in general and in the particular case of p = 2 and k = 1, we give a division algorithm and a theorem to calculate the S-polynomial of two polynomials in two variables. We enunciate the difficulties which are presented while finding directly a Gröbner base of an ideal I in Lp;k[X1,...,Xn] when p > 3, emphasizing that, despite them, it is interesting the fact that we could divide in a ring of polynomials over an ordered algebraic structure