Método de Dirac y sistemas diferenciales exteriores

Abstract

En esta tesis se presenta un estudio de los vínculos de Dirac asociados a una teoría de campos desde el punto de vista de sistemas diferenciales exteriores (EDS).Con este fin en mente, se estudió una clase mayor de problemas variacionales, deno-minadosproblemas variacionales no estándar, que permiten tratar en pie de igualdad tanto sistemas mecánicos como teorías de campos. Para ello se recurrió al concepto de problema variacional Lepage equivalente (tal como se define en [Got91b]), a través del cual fue posible representar las ecuaciones para las extremales del problema original como un sistema diferencial exterior ZH-C. Este sistema diferencial exterior resulta ser un objeto central en la búsqueda de los vínculos de Dirac de la teoría: introduciendo una descomposi-ción del espacio de campos en hojas de tiempo constante, se muestra que ZH-C permite dar dos versiones equivalentes para dichos vínculos, la usual, en término de funciones sobre un espacio de fases de dimensión infinita, y la novedosa, que los representa como un conjunto de generadores de un siste-ma diferencial exterior asociado a IH-C y la foliación introduci-da.Se aplicó el esquema desarrollado al estudio de una serie de ejemplos, algunos físicamente motivados, como el campo electromagnético, el campo de Yang-Mills y el sistema Toda, como así también para el cálculo de las consecuencias dife-renciales de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Además fue posible construir un ejemplo de juguete en el cual el método de Dirac falla en alcanzar su culminación, permitién-donos entender fenómenos presentes en teorías de campo más realistas [Got].

In this thesis, a study of the Dirac constraints arising in the canonical treatment of a field theory, from exterior differential system (EDS) viewpoint, is presented.Keeping this in mind, a bigger class of variational problems, the so called non standard variational problems, was studied, allowing us to deal with both mechanical systems and field theories. In order to achieve this task, it was necessary to use Lepage-equiva-lent variational problems, as defined by [Got91b], permitting us to give a representation of the equations for the extremals in terms of an exterior differential system IH-C.This exterior differential system then becomes a central object in searching the Dirac constraints of the field theory: in fact, by intro-ducing a decomposition of the field space into constant-time slices, it is shown here that IH-C gives two equivalent ver-sions for these constraints, namely,the usual, written in terms of functions on an infinite-dimensional phase space, and the new one, where they are represented as generators of an exterior differential system closely related with IH-C and the slicing. This scheme was applied in a number of examples, some of them physically motivated, such as the electromag-netic field, the Yang-Mills field and the Toda system, and also for the calculation of the differential consequences of a system of partial differential equations. Moreover, it was possible to formulate a toy model where the Dirac method fails in reaching a successful termination, in order to improve our understanding of more realistic field theories [Got].