Una contribución sobre la variedad de las álgebras cilíndricas de dimensión dos libres de elementos diagonales

Abstract

Con el objeto de iniciarme en la tarea de realizar investiación en Matemáticas y Lógica Matemática, Aldo V. Figallo, mi pa-dre y director de este trabajo, me sugirió comenzar con el análisis de un sistema proposicional algebrizable, o más preci-samente, la versión algebraica de ese sistema proposicional. Entonces, con este objetivo, me propuso en primer lugar que estudiara un trabajo bastante reciente y de complejidad consi-derable, cuyo autor es N. Bezhanishvili, al que tituló Varietries of two-dimensional cylindric algebras. part I: Diagonal-free case, el cuál fue publicado en el año 2002, en las páginas 11 a 42 de la primera sección del volumen 48 de la prestigiosa re-vista Algebra universalis. Entre otros resultados, Bezhanishvili estableció que la variedad de las álgebras cilimdricas de dimen-sión 2 librer de elementos diagonales (o Df2-álgebras), tiene la particularidad que toda subvariedad propia es localmente finita. Este hecho sugiere de manera natural, investigar a las álgebras finitas. Por otra parte, como las Df2-álgebras consti-tuyen una ampliación de las álgebras de Boole monádicas de Halmos, también hemos extendido algunos resultados sobre las álgebras de Boole Monádicas al caso de las Df2-álgebras, que por supuesto no fueron establecidos previamente poor Bezhanishvili. Al trabajo lo hemos organizado en cuatro capí-tulos. El Cap. I, Introducción y preliminares, contiene cuatro secciones y los temas que hemos incluido en ellas son resultados bien conocidos, pero necesarios tanto para facilitar la lectura, como para introducir notaciones y dejar fijadas cuáles serán las definiciones que utilizaremos posteriormente. El Cap. II, Representaciones de las Df2 álgebras, tiene tres secciones y en él obtenemos dos representación para las Df2 áñgebras. La primera "vía" álgebras de equivalencia y la segunda por medio álgebras funcionales. Es en este capítulo donde extendemos resultados de Halmos para las álgebras de Boole monádicas. El Cap. III, Df2 álgebras finitas, consta de cinco secciones. En una de ellas describimos las Df2 álgebras subdirectamente irreducibles, en otra probamos que en este caso toda álgebra no trivial es producto directo de álgebras subdirectamente irreducibles, y en la sección final utilizamos resultados que hemos obtenido para las Df2 álgebras y los utilizamos para obtener una nueva solución del problema de determinar las subálgebras monádicas de un álgebra de Boole monádica finita. Finalmente, el Cap. IV, Variedades de Df2-álgebras, tiene dos secciones. En la primera nos abocamos al problema de determinar las subálgebras de un álgebra finita dada, y en la segunda analizamos el retículo de las subvarie-dadesde la variedad de las Df2-álgebras. Casi todos los resul-tados obtenidos en esta tesis los hemos expuesto en congre-sos nacionales e internacionales (ver[15,16,17,18,19]). Algu-nos de stos resultados los hemos publicado ([20]) y otros están en vias de publicación ([21]).

In 1955, P. Halmos introduced the notion of (existential) quantifier on a Boolean algebra and called monadic Boolean algebras any pari (A, E) formed by a Boolean algebra A and q quantifier E defined on A (see [23]). It is well-known that the-se algebras constitute the algebraic counterpart of the monadic predicate calculus of classical logic. In 1968 A. Diego and R. Panzone, while investigating certain type of problemas related with the theory of probabilities, considered Boolean set algebras endowed with two quantifiers which, in addition, commuted (see [14]). They introduced what they called biadic Boolean algebras as triples (A, E1, E2), where A is a Boolean algebra, E1, E2 are quantifiers on A that commute, i.e., they satisfy the additional property: E1E2x=E2E1x for al x E A. These algebras constiture a particular case of the cylindric algebras introduced by A. Tarski, L. Chin y F Thomp-son with the purpose of providing a device for an algebraic study of first-order predicate calculus. A detailed stydy of cylindric algebras can be seen in [27].From now on, following Henkin, Monk and Tarski we shall call the Boolean biadic alge-bras diagonal-fre two -dimensional cylindric algebras (or Df2-algebras) and denoted the variety of Df2-algebras by Df2. It should be noted that Df2 has been widely investigated by different authors but little has been studied on those pro-blems inherent to finite algebras. Among other known results of this variety, the subdirectly irreducible Df2-algebras were described and it wasshown that they coincide with the simple ones (see [27]). Recently, N Bezhanishvili, in [5], studied the lattice A(Df2) of al subvarieties of Df2 and he proved that every proper subvariety of Df2 is locally finite although Df2 is not.We have organized our work in four chapters. Chapter I, Introduction and preliminaries, containsfour sections and the topics included there are well-known but necessary for the understanding of the following chapters as well as for intro-ducing notations and the definitions that will be used later. Chapter II, Representations of Df2-algebras, has three sec-tions and there are exhibited two representations theorems for Df2 algebras. The firs one is "via" w3quivalence algebras and the second by means of algebras of functions. It is here where we extend the results obtained by Halmos for monadic Boolean algebras. Chapter III, Finitte Df2-algebras, has five sections. In this chapter the we describe the subdirectly irreducible Df2-algebras, also we proved that eavery non-trivial finite algebra is direct product of subdirectly irreducible algebras; and then we use theses results in order tu obtain a nw solution of the problem of determining all monadic subalge-bras of a given finite monadic Boolean algegra. Finally, in Chapter IV, Varieties of Df2-algebras, we determine all subal-gebras of a finite Df2-algebras and we study the lattice of all subvarieties of the variety Df2. All these results have been exposed in national and international meetings (see [15, 16, 17, 18, 19]) and some of the have been published ([220]) or are to bi pubished ([21]).