Dimensiones homológicas en teoría de representaciones de álgebras

Abstract

En esta tesis trabajamos los módulos periódicos, los módulos virtualmente periódicos y los módulos ortogonales a su resolución. Estudiamos las dimensiones homológicas de dichos módulos, en particular, el valor en la funciones Ø y U de Igusa-Todorov en los módulos ortogonales a su resolución. También, calculamos las dimensiones homológicas (fin.dim, Ø-dim, U-dim) de las álgebras n-ortogonales a su resolución. En primer lugar, haciendo uso de la descripción de las sizigias en las álgebras de radical cuadrado cero y en las álgebras truncadas, describimos los módulos periódicos y virtulamente periódicos en función del carcaj. Además, en el caso de las álgebras de radical cuadrado cero, caracterizamos los módulos simples virtualmente periódicos en función de su dimensión proyectiva o inyectiva. Por otro lado, mostramos que en las álgebras n-Gorenstein los módulos p-periódicos indescomponibles no proyectivos coinciden con los módulos fuertemente Gorenstein proyectivos. Estos resultados nos serán de utilidad en el resto del trabajo para construir ejemplos. En segundo lugar, definimos los módulos ortogonales a su resolución los cuales son una generalización de los módulos estables y por lo tanto, de los módulos Gorenstein proyectivos. Demostramos que los valores de las funciones Ø y U de Igusa-Todorov en los módulos ortogonales a su resolución coinciden. A partir de un módulo ortogonal a su resolución construimos una subcategoría Xx de mod Ʌ y probamos que el funtor sizigia es un funtor fiel y pleno de Xx en sí misma. Utilizando dicho funtor, mostramos que la primera función Igusa-Todorov, Ø , se anula en los módulos ortogonales a su resolución. Finalmente, utilizando los módulos ortogonales a su resolución, definimos las álgebras n-ortogonales a su resolución y demostramos que su dimensión finitista, su Ø -dimensión y su U-dimensión son finitas.

In this thesis we work with the periodic modules, virtually periodic modules and orthogonal to their resolution modules.We study homological dimensions of such modules, and particularly, the value of Igusa-Todorov's functions Ø and U at orthogonal to their resolution modules. We also compute the homological dimensions (fin.dim, Ø -dim, U-dim) of the Orthogonal to their resolution algebras. First, making use of syzygy's description for radical square zero algebras and for truncated path algebras, we describe periodic and virtually periodic modules according to the quiver. Moreover, in the case of radical square zero algebras, we characterize simple virtually periodic modules in function of their projective or injective dimension. On the other side, we show that, for n-Gorenstein algebras, non-projective indecomposable pperiodic modules coincide with the strongly projective Gorenstein modules. These results will become useful to us in the rest of the work for building examples. Second, we define orthogonal to their resolution modules, which are a generalization of stable modules and therefore, of projective Gorenstein modules. We demonstrate that the values of Igusa-Todorov's functions Ø and U in orthogonal to their resolution modules coincide. From an orthogonal to its resolution modules we build the subcategory XX of mod Ʌ and we prove that the syzygy functor is a faithful and full functor of XX over itself. Using the mentioned functor, we show that Ø , the first Igusa-Todorov's function, is nullified in orthogonal to their resolution modules. Finally, using orthogonal to their resolution modules, we dedine the n-orthogonal to their resolution algebras and we prove that its finitistic dimension, Ø -dimension and U-dimension are finite.