Un estudio algebraico de operadores temporales definibles en versiones algebraicas de diversas lógicas

Abstract

El volumen que aquí presentamos está organizado en cinco capítulos. En el primero se describen resultados conocidos que facilitarán la lectura de la tesis, el mismo no tiene pretenciones de originalidad. El Capítulo 2 está organizado en tres secciones. En la primera sección investigamos la variedad de álgebras que hemos denominado álgebras de De Morgan temporales, como una generalización natural de las álgebras de Boole temporales. En esta sección nuestro principal interés es la teoría de representación para esta clase de álgebras. La Sección 2.1 está organizada como sigue: En la Subsección 2.1.1 definimos la variedad de las álgebras de De Morgan temporales, introducimos algunos ejemplos y probamos algunas propiedades. En la Subsección 2.1.2 damos un teorema de representación para las álgebras de De Morgan temporales en términos de las álgebras de De Morgan temporales de conjuntos usando un conocido teorema de representación para las álgebras de De Morgan. En la Subsección 2.1.3 describimos una dualidad topológica para las álgebras de De Morgan temporales, extendiendo la dualidad dada por Cornish y Fowler en [42] para las álgebras de De Morgan. Finalmente, en la Subsección 2.1.4 caracterizamos el retículo de las congruencias de estas álgebras en términos de la dualidad antes mencionada y de ciertos subconjuntos cerrados del espacio asociado con él. Los resultados de esta sección fueron publicados en A. V. Figallo, G. Pelaitay. Tense operators on De Morgan algebras. Log. J. IGPL 22, 2, 255–267. 2014. La segunda sección está compuesta por dos subsecciones. En la primera obtenemos una dualidad discreta para las álgebras de Łukasiewicz-Moisil nvaluadas teniendo en cuenta los resultados indicados por Dzik, Orłowska y van Alten en 2006 para las álgebras de De Morgan [49]. En la segunda subsección extendemos la dualidad discreta dada para las álgebras de Łukasiewicz- Moisil n-valuadas al caso de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n−valuadas temporales. Los resultados de esta sección fueron publicados en A. V. Figallo, G. Pelaitay. Discrete duality for tense Łukasiewicz–Moisil algebras. Fund. Inform., 136. 1–13. 2015. La tercer sección está dividida en tres subsecciones. En la Subsección 2.3.1 repasamos definiciones y resultados conocidos sobre las álgebras tetravalentes modales que nos serán de utilidad en las subsecciones siguientes. También mostramos que las álgebras de De Morgan con implicación definidas por Kondo en [102] son polinomialmente equivalentes a las álgebras tetravalentes modales contrapositivas definidas por Figallo y Landini en [58] y estudiadas recientemente por Coniglio y Figallo en [40]. En la Subsección 2.3.2 obtenemos dos dualidades discretas diferentes para las álgebras tetravalentes modales. Finalmente, en la última subsección definimos la variedad de las álgebras tetravalentes modales temporales como una generalización común de las álgebras de Boole temporales y las álgebras de Łukasiewicz-Moisil 3−valuadas temporales. El resultado más importante de esta subsección es la obtención de una dualidad discreta para esta nueva clase de álgebras. El Capítulo 3 está organizado en cinco secciones. La primera está dedicada al estudio de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n ×m−valuadas definidas por Figallo y Sanza en [60]. Esta sección se divide en cinco subsecciones. En la Subsección 3.1.1. repasamos un ejemplo que nos permite legitimar el estudio de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n × m-valuadas. En la Subsección 3.1.2 recordamos definiciones y resultados que nos serán de utilidad para lo que sigue. En la Subsección 3.1.3 introducimos nuevos conectivos de implicación y probamos algunas propiedades básicas de estos conectivos. En la Subsección 3.1.4 recordamos la definición de álgebra de Łukasiewicz- Moisil n ×m−valuada monádica. Estas álgebras fueron definidas por Figallo y Sanza en [69]. Finalmente, en la última subsección definimos la clase de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n ×m−valuadas poliádicas. Estas álgebras, para el caso m = 2, coinciden con las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n−valuadas poliádicas [7]. El principal resultado de esta subsección es un teorema de representación para las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n ×m−valuadas poliádicas. La Sección 3.2 está dedicada al estudio de las álgebras de Łukasiewicz- Moisil temporales débiles definidas por Figallo y Pelaitay en [78]. Esta sección está dividida en cuatro subsecciones. En la Subsección 3.2.1 introducimos la variedad de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil temporales débiles como una generalización común de las álgebras de Boole temporales débiles y de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n−valuadas temporales débiles. En la Subsección 3.2.2, basados en la noción de marco débil, damos un ejemplo de álgebra de Łukasiewicz-Moisil temporal débil que será de utilidad en lo que sigue. En la Subsección 3.2.3 probamos un teorema de representación para las álgebras de Łukasiewicz-Moisil temporales débiles. Finalmente, en la última subsección nos dedicamos al estudio de las congruencias en un álgebra de Łukasiewicz-Moisil n ×m−valuada temporal débil. Estos resultados nos permitieron caracterizar las álgebras simples y subdirectamente irreducibles de la variedad antes mencionada. La Sección 3.3 está dedicada al estudio de las álgebras de Łukasiewicz- Moisil n ×m−valuadas temporales definidas por Figallo y Pelaitay en [79]. Esta sección está dividida en cuatro subsecciones. En la Subsección 3.3.1 introducimos la variedad de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil temporales como una generalización común de las álgebras de Boole temporales y de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n−valuadas temporales. En la Subsección 3.3.2, basados en la noción de marco, damos un ejemplo de álgebra de Łukasiewicz-Moisil temporal que será de utilidad en lo que sigue. En la Subsección 3.3.3, probamos un teorema de representación para las álgebras de Łukasiewicz-Moisil temporales; como corolario de este teorema obtenemos el teorema de representación dado porDiaconescu yGeorgescu en [43] para las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n−valuadas temporales. Finalmente, en la última subsección nos dedicamos al estudio de las congruencias en un álgebra de Łukasiewicz-Moisil n ×m-valuada temporal. Estos resultados nos permitieron caracterizar las álgebras simples y subdirectamente irreducibles de la variedad antes mencionada. La Sección 3.4 está dedicada al estudio de las álgebras de Łukasiewicz- Moisil n ×m−valuadas poliádicas temporales débiles. Esta sección está dividida en dos subsecciones. En la Subsección 3.4.1 introducimos la clase de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n ×m−valuadas poliádicas temporales débiles como una generalización común de las álgebras de Boole poliádicas temporales débiles y las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n−valuadas poliádicas temporales débiles. También, basados en la noción de sistema temporal débil, damos un ejemplo de álgebra de Łukasiewicz-Moisil n ×m−valuada poliádica temporal débil. El resultado más importante de la segunda subsección es un teorema de representación para las álgebras de Łukasiewicz-Moisil temporales débiles. En la última subsección definimos la clase de las álgebras de Łukasiewicz-Moisil n×m−valuadas poliádicas temporales y damos un ejemplo basándonos en la noción de sistema temporal. Algunos de los resultados de este capítulo han sido aceptados para su publicación en A. V. Figallo, G. Pelaitay. A representation theorem for tense n ×m−valued Łukasiewicz–Moisil algebras.Mathematica Bohemica. 2015. A. V. Figallo, G. Pelaitay. n ×m-valued Łukasiewicz–Moisil algebras with two modal operators. South American Journal of Logic. 2015. También han sido presentados y expuestos en A. V. Figallo, G. Pelaitay. Operadores temporales sobre álgebras de Łukasiewicz-Moisil n ×m-valuadas, Actas del XII Congreso Dr. Antonio Monteiro, UNS, Bahía Blanca, Argentina, (2013), 31-32. El Capítulo 4 está organizado en tres secciones. La primera sección está dedicada al estudio de operadores temporales sobre álgebras de Heyting. Esta sección se divide en seis subsecciones. En la primera subsección mostramos que la axiomatización algebraica dada por Chajda en [24] de los operadores temporales F y P en la lógica intuicionista no se ajusta a la definición de Halmos de cuantificador existencial. En la segunda subsección introducimos la variedad de las I K t −álgebras, mostramos algunos ejemplos y probamos algunas propiedades. En la tercera subsección probamos que el sistema IKt de la lógica temporal intuicionista introducido por Ewald en [52], tiene a las I K t −álgebras como contraparte algebraica. En la cuarta subsección describimos una dualidad discreta para las I K t −álgebras teniendo en cuenta los resultados indicados por Orłowska y Rewitzky en [124] para las álgebras de Heyting. En la quinta subsección damos una construcción general de los operadores temporales sobre un álgebra de Heyting completa por medio de los llamados marcos de Heyting. Finalmente, en la última subsección introducimos la noción de sistema deductivo temporal, la cual nos permite determinar el retículo de las congruencias en una I K t −álgebra y caracterizar las álgebras simples y subdirectamente irreducibles de la variedad IKt. Los resultados de esta sección fueron publicados en A. V. Figallo, G. Pelaitay. Remarks onHeyting algebras with tense operators. Bull. Sect. Logic Univ. Lódz 41, 1–2, 71–74. 2012. A. V. Figallo, G. Pelaitay. An algebraic axiomatization of the Ewald’s intuitionistic tense logic. Soft Computing. 18, 10, 1873–1883. 2014. También han sido presentados en A. V. Figallo, G. Pelaitay.Una axiomatización algebraica del sistema IKt, IV Congreso Lationoamericano deMatemáticos, Córdoba, 2012. A. V. Figallo, G. Pelaitay. An algebraic axiomatization of IKt system, 6th Workshop on IntuitionisticModal Logic and Applications, Rio de Janeiro, Brazil, 2013. La segunda sección está dedicada al estudio de operadores temporales sobre álgebras de Heyting simétricas. Esta sección está dividida en tres subsecciones. En la primera definimos la variedad de las álgebras de Heyting simétricas temporales, damos un ejemplo y probamos algunas propiedades. En la segunda subsección obtenemos una dualidad discreta para las álgebras de Heyting simétricas temporales teniendo en cuenta las indicadas en [49] para las álgebras de De Morgan y en [124] para las álgebras de Heyting. En la tercer subsección describimos un cálculo proposicional que tiene a las álgebras de Heyting simétricas temporales como contraparte algebraica. Los resultados de esta sección fueron publicados en A. V. Figallo, G. Pelaitay, C. Sanza.Discrete duality for TSH−algebras. Commun. KoreanMath. Soc., 27, 1, 47–56. 2012. 30 También fueron presentados y expuestos en A.V. Figallo, G. Pelaitay, C. Sanza. Operadores temporales sobre álgebras de Heyting simétricas. LIX Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina. Índice de Comunicaciones Científicas. Mar del Plata, Septiembre 2009. A.V. Figallo, G. Pelaitay, C. Sanza. Una dualidad discreta para las álgebras deHeyting simétricas temporales. LX Reunión Anual de laUniónMatemática Argentina. Índice de Comunicaciones Científicas. Tandil, Septiembre 2010. La tercera sección está dedicada al estudio de operadores temporales sobre álgebras de Heyting simétricas de orden n (o SHn−álgebras para abreviar) . Esta sección está dividida en tres subsecciones. En la primera subsección definimos la variedad de las SHn-álgebras temporales, damos un ejemplo y probamos algunas propiedades. En la segunda subsección obtenemos una dualidad discreta para las SHn-álgebras temporales teniendo en cuenta las indicadas en [124] para las SHn-álgebras. En la tercera subsección describimos un cálculo proposicional que tiene a las SHn-álgebras temporales como contraparte algebraica. Los resultados de esta sección fueron publicados en: A. V. Figallo, G. Pelaitay. Tense operators on SHn-algebras. Pioneer Journal of Algebra, Number Theory and its Applications. 1, 1, 33–41. 2011. A. V. Figallo, G. Pelaitay. Note on tense SHn-algebras. An.Univ. Craiova Ser. Mat. Inform., 38, 4, 24–32. 2011. También fueron presentados y expuestos en: A. V. Figallo, G. Pelaitay. Tense operators on SHn−algebras, 16th Brazilian Logic Conference, Petropolis, Brazil, 2011. El Capítulo 5 consiste en una breve enumeración de los posibles desarrollos futuros.

The volume presented here is organized in five chapters. In the first, with no claim to originality, we describe some known results that will facilitate the reading of the thesis. Chapter 2 is organized in three sections. In the first we investigate the variety of algebras that we have called tense De Morgan Algebras as a natural generalization of tense Boolean algebras. In this section our main interest is the representation theory for this class of algebras. Section 2.1 is organized as follows: In Subsection 2.1.1 we define the variety of tense De Morgan algebras, introduce some examples and prove some properties. In Subsection 2.1.2 we give a representation theorem for tense De Morgan algebras in terms of tense De Morgan algebras of sets by using a well-known representation theorem for De Morgan algebras. In Subsection 2.1.3 we describe a topological duality for tense De Morgan algebras, extending the duality given by Cornish and Fowler in [42] for De Morgan algebras. Finally, in Subsection 2.1.4 we characterize the congruences lattice of these algebras in terms of the duality mentioned before and certain closed subsets of the space associated with them. The results obtained in this section were published in A. V. Figallo, G. Pelaitay. Tense operators on De Morgan algebras. Log. J. IGPL 22, 2, 255–267. 2014. The second section consists of two subsections. In the first we obtain a discrete duality for the n-valued Łukasiewicz-Moisil algebras taking into account the results indicated by Dzik, Orłowska and van Alten in 2006 forDeMorgan algebras [49]. In the second subsection we extend the discrete duality given for n-valued Łukasiewicz-Moisil algebras to the case of the tense n-valued Łukasiewicz–Moisil algebras. The results of this sections were published in A. V. Figallo, G. Pelaitay. Discrete duality for tense Łukasiewicz–Moisil algebras. Fund. Inform., 136. 1–13. 2015. The third section is divided into three subsections. In Subsection 2.3.1 we review definitions and known results on tetravalent modal algebras which will be useful in the subsequent subsections. We also show that De Morgan algebras with implication defined by Kondo in [102] are polynominally equivalent to the contrapositive modal tetravalent algebras defined by Figallo and Landini in [58] and recently studied by Coniglio and Figallo in [40]. In Subsection 2.3.2 we obtain two different discrete dualities for the tetravalent modal algebras. Finally, in the last subsection we define the variety of tense tetravalent modal algebras as a common generalization of tense Boolean algebras and tense n−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. The most important result in this subsection is having obtained a discrete duality for these new algebras. Chapter 3 is organized into five sections. The first is devoted to the study of the n × m-valued Łukasiewicz-Moisil algebras defined by Figallo and Sanza in [60]. This section has been subdivided into five subsections. In Subsection 3.1.1we review an example which has allowed us to legitimate the study of the n ×m-valued Łukasiewicz-Moisil algebras. In Subsection 3.1.2 we recall definitions and results which will be useful for what follows. In Subsection 3.1.3 we introduce new implication connectives and prove some of their basic properties. In Subsection 3.1.4 the definition of monadic n ×m−valued Łukasiewicz–Moisil algebra is reviewed. These algebras were defined by Figallo and Sanza in [69]. Finally, in the last subsection we define the class of polyadic n ×m-valued Łukasiewicz-Moisil algebras. These algebras, for the case of m = 2, they coincide with polyadic n−valued Łukasiewicz-Moisil algebras [7]. The main result of this subsection is a representation theorem for polyadic n × m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. Section 3.2 is focused on the study of weak-tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras defined by Figallo and Pelaitay in [78]. This section is divided into four subsections. In Subsection 3.2.1 we introduce the variety of weak-tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil as a common generalization of weak-tense Boolean algebras and weak-tense n−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. In Subsection 3.2.2, based on the notion of weak frame, we provide an example of weak-tense n × m−valued Lukasiewicz-Moisil algebras to bear into consideration for further analysis. In Subsection 3.2.3 we prove a representation theorem for weak-tense n × mvalued Łukasiewicz-Moisil algebras. Finally, in the last subsection we focus on the study of congruences in a weak-tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebra. These results allowed us to characterize simple and subdirectly irreducible algebras from the previously mentioned variety. Section 3.3 is focused on the study of tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras defined by Figallo and Pelaitay in [79]. This section is divided into four subsections. In Subsection 3.3.1 we introduce the variety of tense n ×m−valued Łukasiewicz- Moisil algebras as a common generalization of tense Boolean algebras and tense n−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. In Subsection 3.3.2, based on the notion of frame,we provide an example of tense n×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras, necessary for later analysis. In Subsection 3.3.3, we proved a representation theorem for tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras; as a corollary of this theorem we obtain the representation theorem provided by Diaconescu and Georgescu in [43] for tense n−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. Finally, in the last subsection we focus on the study of congruences in a tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. These results allowed us to characterize simple and subdirectly irreducible algebras from the variety previously mentioned. Section 3.4 is focused on the study polyadic weak-tense n × m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. This section is divided into two subsections. In Subsection 3.4.1 we introduced the class of study polyadic weaktense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras as a common generalization of polyadic weak-tense Boolean algebras and polyadic weak-tense n−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. Furthermore, based on the notion of weak-tense system, we provide an example of polyadic weak-tense n × m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. The most prominent result from this second subsection is a representation theorem for polyadic weak-tense n × m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras. In the last subsection we define the class of polyadic tense n ×m−valued Łukasiewicz-Moisil algebras and we provide an example based on the notion of tense system. Some of the results of this chapter have been accepted for publishing in A. V. Figallo, G. Pelaitay. A representation theorem for tense n ×m−valued Łukasiewicz–Moisil algebras.Mathematica Bohemica. 2015. A. V. Figallo, G. Pelaitay. n ×m-valued Łukasiewicz–Moisil algebras with two modal operators. South American Journal of Logic. 2015. They have also been presented and exposed in A. V. Figallo, G. Pelaitay. Operadores temporales sobre álgebras de Łukasiewicz-Moisil n ×m-valuadas, Actas del XII Congreso Dr. Antonio Monteiro, UNS, Bahía Blanca, Argentina, (2013), 31-32. Chapter four is organized into three sections. The first section is focused to the study of tense operators on Heyting algebras. This section is divided into six subsections. In the first subsection we demonstrate that algebraic axiomatization given by Chajda in [24] of the tense operators F and P in intuitionistic logic is not in accordance with theHalmos definition of existential quantifier. In the second subsection we introduce I K t −algebras variety, we show some examples and prove some of its properties. In the third subsection we prove that intuitionistic tense logic introduced by Ewald in [52] has I K t −algebras as its algebraic counterpart. In the fourth subsection we describe a discrete duality for I K t −algebras bearing into account the results indicated by Orłowska and Rewitzky in [124] for Heyting algebras. In the fifth subsection we give a general construction of tense operators on a completeHeyting algebra via the so-called Heyting frames. Finally, in the last subsection we introduce the notion of tense deductive system which allows us to determine the congruences lattice in an I K t −algebras and characterize simple and subdirectly irreducible from the IKt variety. The results of this section have been published in A. V. Figallo, G. Pelaitay. Remarks onHeyting algebras with tense operators. Bull. Sect. Logic Univ. Lódz 41, 1–2, 71–74. 2012. A. V. Figallo, G. Pelaitay. An algebraic axiomatization of the Ewald’s intuitionistic tense logic. Soft Computing. 18, 10, 1873–1883. 2014. They were also presented and discussed in A. V. Figallo, G. Pelaitay.Una axiomatización algebraica del sistema IKt, IV Congreso Lationoamericano deMatemáticos, Córdoba, 2012. A. V. Figallo, G. Pelaitay. An algebraic axiomatization of IKt system, 6th Workshop on IntuitionisticModal Logic and Applications, Rio de Janeiro, Brazil, 2013. The second section is focused on the study of tense operators on symmetric Heyting algebras. This section is divided into three subsections. In the first section we define tense symmetric Heyting algebras, we provide an example and prove some of their properties. In the second subsection we obtain a discrete duality for tense symmetric Heyting algebras taking into account the indications in [49] for DeMorgan algebras and in [124] for Heyting algebras. In the third subsection we describe a propositional calculus that has tense symmetric Heyting algebras as an algebraic counterpart. The results in this section were published in A. V. Figallo, G. Pelaitay, C. Sanza.Discrete duality for TSH-algebras. Commun. KoreanMath. Soc., 27, 1, 47–56. 2012. They were also presented and discussed in A.V. Figallo, G. Pelaitay, C. Sanza. Operadores temporales sobre álgebras de Heyting simétricas. LIX Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina. Índice de Comunicaciones Científicas. Mar del Plata, Septiembre 2009. A.V. Figallo, G. Pelaitay, C. Sanza. Una dualidad discreta para las álgebras deHeyting simétricas temporales. LX Reunión Anual de laUniónMatemática Argentina. Índice de Comunicaciones Científicas. Tandil, Septiembre 2010. The third section is devoted to the study of tense operators on symmetric Heyting algebras of order n (or SHn-algebras). This section is divided in three subsections. In the first subsection,we define the variety of tense SHn-algebras, we provide an example and prove several properties. In the second subsection, we obtain a discrete duality for tense SHn-algebras taking into account the ones indicated in [124] for SHn-algebras. In the third subsection, we describe a propositional calculus that has tense SHn-algebras as algebraic counterparts. The results of this section were published in: A. V. Figallo, G. Pelaitay. Tense operators on SHn-algebras. Pioneer Journal of Algebra, Number Theory and its Applications. 1, 1, 33–41. 2011. A. V. Figallo, G. Pelaitay. Note on tense SHn-algebras. An.Univ. Craiova Ser. Mat. Inform., 38, 4, 24–32. 2011. They were also presented and discussed in: A. V. Figallo, G. Pelaitay. Tense operators on SHn-algebras, 16th Brazilian Logic Conference, Petropolis, Brazil, 2011. Chapter 5 consists of a brief enumeration of the possible future developments.