Álgebras de De Morgan pseudocomplementadas modales 4-valuadas

Abstract

Las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas fueron consideradas por primera vez por A. Romanowska ([66]) quien las denominó pM−álgebras y caracterizó las álgebras subdirectamente irreducibles finitas. Posteriormente, H. Sankappanavar ([67, 68]) continuó con el estudio de las pM−álgebras examinando las congruencias y caracterizando todas las subdirectamente irreducibles. Por otra parte, A. V. Figallo y P. Landini ([23, 21]) con el propósito de presentar distintas axiomáticas para las álgebra tetravalente modales ([42, 43]), mostraron que las pM−álgebras que verifican la condición adicional x V~x<_xV x* admiten una estructura de álgebra tetravalente modal y las denominaron álgebras de De Morgan pseudocomplementadas modales ó mpM−álgebras, para abreviar. En esta tesis hacemos un estudio detallado de la variedad de las mpM−álgebras. Al volumen lo hemos organizado en cuatro capítulos. En el Capítulo I, damos las definiciones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. También hemos incluído una breve exposición sobre la teoría de la dualidad de Priestley para los retículos distributivos acotados y para las p−álgebras ([60, 61, 63]). Por último, describimos la dualidad de W. Cornish y P. Fowler ([18, 19]) para las álgebras de De Morgan. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el Capítulo II, comenzamos el estudio de las mpM−álgebras. En él abordamos el problema de caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles de esta variedad para lo cual determinamos, en primer lugar, una dualidad topológica para estas álgebras la que nos permitió caracterizar al retículo de las congruencias. Cabe señalar que esta dualidad es utilizada fuertemente a lo largo de todo el trabajo. Además, probamos que las mpM−álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple, residualmente pequeña y residualmente finita. En la última sección de este capítulo obtenemos, con técnicas algebraicas, otras caracterizaciones de las congruencias a partir de ciertos subconjuntos especiales del álgebra. Algunos de los resultados anteriores fueron expuestos en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA en el 2004 y el 2006. En el Capítulo III, y con el propósito de obtener una mayor informaci´on sobre la variedad mpM de las mpM−álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias principales. En primer lugar, indicamos dos descripciones de las mismas por medio de ciertos subconjuntos del espacio asociado lo que nos permitió concluir que ellas constituyen un álgebra de Boole. A continuación mostramos, entre otros resultados, que mpM es discriminadora lo cual nos proporcionó numerosas propiedades de las mpM−congruencias en general. Posteriormente, probamos que las congruencias principales y booleanas coinciden y esta afirmación hizo posible determinar el número de congruencias de las mpM−álgebras finitas. Finalizamos este caíıtulo determinando el polinomio discriminador ternario para esta variedad y estableciendo una descripci´on ecuacional de las congruencias principales. Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en esta unidad fueron presentados en el XIII Simposio Latinoamericano de Lógica Matemática, Oaxaca, Méjico en el 2006 y en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA en el 2007. El Capítulo IV consta de dos secciones. En la primera, nos abocamos al estudio de las propiedades de las mpM−álgebras finitas y finitamente generadas. En la segunda, determinamos la estructura de las mpM−álgebras libres con un conjunto finito de generadores libres y finalmente, indicamos la fórmula que nos permite calcular el cardinal de álgebra libre con un conjunto finito de generadores libres en función del número de generadores de la misma. En la Reunión Anual de Comunicaciones Cienificas de la UMA del 2008 fueron expuestos parte de los resultados anteriores. Alguno de los temas de esta tesis han sido aceptados para su publicación en ([24]).

De Morgan pseudocomplemented algebras were first considered by A. Romanowska ([66]) who called them pM−algebras and characterized the finite subdirectly irreducible algebras. Later on, H. Sankappanavar ([67, 68]) continued studying pM−algebras by examining congruences and characterizing all the subdirectly irreducible algebras. On the other hand, A. V. Figallo and P. Landini ([23, 21]), with the aim of presenting different axiomatic for tetravalent modal algebras ([42, 43]), they proved that pM−algebras verifying the additional condition x_V~ x < _ xVx* admit a tetravalent modal algebra structure. Hence, they called them De Morgan pseudocomplemented modal algebras, or mpM−algebras, for short. Our aim in this thesis is to study in deep the variety mpM of mpM−algebras. More precisely, we have organized this work in four chapters. In Chapter I, basic definitions are provided and we do also a review of the most important results in universal algebra. Furthermore, we have also included a brief discussion on Priestley’s dualities for bounded distributive lattices and p−algebras ([60, 61, 63]). Finally, we describe W. Cornish and P. Fowler’s duality ([18, 19]) for De Morgan algebras. These topics have been included not only to simplify the reading but also to fix the notations and the definitions that we will use in this volume. In Chapter II, we began the study of mpM−algebras. Here, we boarded the problem of characterizing the subdirectly irreducible members of this variety. To this aim, we determine a topological duality for these algebras which allowed us to characterize the congruence lattice.We must point out that this duality is strongly used throughout all this work. Furthermore, we prove that mpM−algebras constitute a locally finite, semisimple, residually small and residually finite variety. In the last section of this chapter we obtain, by means of algebraic techniques, other characterizations of the congruences by means of special subsets of the algebra. Some of the above results were presented in the Annual Meeting of the Uni´on Matemática Argentina in 2004 and 2006. In Chapter III, and in order to obtain more information on the variety mpM, we carried out a detailed study of the principal congruences. First, we indicate two descriptions of them by means certain subsets of the associated space to an mpM−algebra, which allowed us to conclude that they constitute a Boolean algebra. Next we show, among other results, that mpM is a discriminator variety which also provided us many properties of mpM−congruences. Later on, we prove that principal and Boolean congruences coincide and this statement allows us to determine the number of congruences in the finite mpM−algebras. By the end of this chapter, we determine the ternary discriminator polynomial for this variety and we also establish an equational description of the principal congruences. It is worth mentioning that some of the topics presented in this chapter were previously discussed at the XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic, Oaxaca, Mexico, and in the Annual Meeting of the Unión Matem´atica Argentina in 2006 and 2007 respectively. Chapter IV consists of 2 sections. In the first one, we focus our study on the properties of finite and finitely generated mpM−algebras. In the second one, we determine the structure of the free mpM−algebras with a finite set of free generators. Finally, we indicate a formula which allows us to calculate the cardinal number of the free mpM−algebras in terms of the number of the free generators of the algebras. Some of the results of this chapter were presented at the Annual Meeting of the Uni´on Matem´atica Argentina in 2008, Some of the topics of this thesis have been accepted for publication in ([24]).