Polinomios en síntesis y control de sistemas dinámicos

Abstract

La principal contribución de esta tesis es la vinculación entre el Álgebra y la Teoría de Bifurcaciones. Se estudian sistemas dinámicos que puedan expresarse con representaciones po-linomiales, y se utilizan herramientas algebraicas para realizar análisis, síntesis y control sobre estos modelos matemáticos. El método de las formas normales es una técnica clásica de estudio en teoría de bifurcaciones. El objetivo es capturar los elementos fundamentales de la solución de un sistema, obte-niendo como resultado una estructura polinomial en las ecua-ciones. Por medio del polinomio de la forma normal se pueden determinar amplitud, frecuencia, estabilidad y multiplicidad de las oscilaciones, también conocidas como ciclos límites. El método también permite realizar control de bifurcaciones, es decir diseñar un controlador que pueda modifcar las caracte-rísticas de bifurcación de un dado sistema, alcanzando ciertos comportamientos dinámicos más deseables. Algunos de los objetivos podrían ser: a) cambiar el valor del parámetro de un punto de bifurcación, b) estabilizar una solución o una rama de soluciones bifurcadas, c) modificar la multiplicidad de esta-do estacionario, de soluciones periódicas o de atractores, d) modificar la frecuencia y amplitud de las soluciones emergen-tes de una bifurcación, etc. La descripción clásica de siste-mas dinámicos en el espacio de estados se enfoca desde un punto de vista algebraico. Las dinámicas se pueden represen-tar como relaciones polinómicas entre las variables de estado y sus primeras derivadas. Entonces, esta descripción alge-braica constituye el conjunto de todos los polinomios que se anulan, cuando las variables toman los valores de cualquier trayectoria del sistema en estudio. Esta representación está directamente conectada con los conceptos algebraicos de ideales y variedades, y permite trabajar con algoritmos y herramientas algebraicas como por ejemplo las bases de Gro-ebner. El método de síntesis no sólo muestra que es posible diseñar osciladores y controladores, sino también obtener formas normales, y un conjunto de polinomios que genera una familia de sistemas dinámicos, todos ellos con una órbita en común entre sus posibles soluciones. Estos problemas se re-suelven en forma analítica con métodos simbólicos y también se usan técnicas numéricas. A pesar de que los métodos simbólicos proveen una solución más general, aún se encuen-tran limitados a resolver problemas de tamaño modesto. Una alternativa es usar ambos métodos en forma complementaria. Existen programas específicos tanto simbólicos como numé-ricos, y se utilizan para la eliminación de variables en sistemas de ecuaciones polinómicas y luego en forma numérica, cálculo de raíces, simulaciones y continuación de bifurcaciones. El impacto y alcance del uso de las bases de Groebner en sistemas dinámicos resalta sobre los conocimientos ya de-sarrollados como un paso hacia la ampliación de futuras investigaciones.

The main contribution of this thesis is the exploration of relationships between Algebra and Bifurcation Theory. Pro-blems such as bifurcation control and synthesis of dynamical systems based on polynomial representations are studied, and algebraic tools are used for analysis, synthesis and control of these mathematical models. Using the normal form method, a classic technique for studying bifurcation theory, dynamical behaviors can be captured by a set of polynomial equations, and the stability, amplitude, frequency and multiplicity of the periodic solutions are analyzed using polynomials. This approach is also suitable for bifurcation control, i.e. the design of a controller to modify the bifurca-tion characteristics of a given system to obtain a more desira-ble dynamic behavior. In this way, it is possible to delay the appearance of bifurcations, to stabilize a solution or a branch of bifurcation solutions, to alter its multiplicity, to modify the frequency and amplitude of the solutions emerging from a bi-furcation, etc. The classical state-space description of a dynamical system can also be treated within this algebraic framework. The system is represented by a set of polynomial equations involving the variables and their derivatives that vanishes over any path of the system under study. This repre-sentation is linked with the algebraic concepts of ideal and varieties, and can be handled with tools such as Groebner bases. Controller synthesis, oscillator design and derivation of normal forms can also be achieved with Groebner basis. As a result of the design procedure, a set of polynomials that generates a family of dynamical systems sharing a common orbit among their possible trajectories is obtained. These pro-blems can be solved using symbolic or numerical methods, but even for systems of modest size, the complexity of the symbolic solutions is overwhelming. An alternative explored in this thesis is to employ numerical and symbolic methods complementarily, for example eliminating variables in systems of polynomial equations symbolically, and then computing the roots, continuation of bifurcations and simulations using nume-rical techniques. The impact and scope of Groebner bases in dynamical systems are highlighted with respect to what has already been acomplished as a stepping stone for future research.