Aplicación de la teoría de bifurcaciones en sistemas de potencia eléctrica

Abstract

Los sistemas de potencia eléctrica se encuentran entre los sistemas ingenieriles de mayor complejidad que existen en la actualidad. Por ende, los fenómenos dinámicos que éstos experimentan son también de naturaleza compleja y a veces no se cuenta con las herramientas apropiadas para su correcto análisis. Esto es debido a que muchos de estos fenómenos son de carácter no lineal, y en algunas ocasiones se maniestan como interacciones entre partes del sistema que a priori no poseen una relación evidente. Por otro lado, debido al incremento de la demanda y las restricciones económicas (entre otros factores), los sistemas de potencia se ven forzados a operar en cercanías de sus límites de estabilidad, quedando más vulnerables a perturbaciones en las condiciones de operación. Además, el desempeño del sistema en tales circunstancias muchas veces no es el adecuado, ya que las condiciones de operación distan de las que originalmente se propusieron en la etapa de diseño. Por todas estas razones resulta de interés estudiar el comportamiento del mismo ante variaciones en sus parámetros, como por ejemplo el consumo de una carga o la ganancia de un controlador, de manera de retratar los posibles escenarios dinámicos derivados de tales variaciones. La presente tesis aborda el estudio de la dinámica de los sistemas de potencia eléctrica utilizando la teoría de bifurcaciones. Para ello se analizan los distintos comportamientos dinámicos que exhibe el sistema ante variaciones cuasiestacionarias en los parámetros, estudiando los cambios cualitativos en la dinámica (i.e., bifurcaciones) originados por tales variaciones. En este sentido, en determinados casos es posible asociar el fenómeno de colapso de voltaje a la ocurrencia de una bifurcación silla-nodo. Como consecuencia de dicha singularidad, el punto de operación desaparece al aumentarse la potencia reactiva consumida por la carga y a raíz de ello las tensiones caen súbitamente, dando origen al colapso de voltaje. Otro fenómeno característico de índole no lineal son las oscilaciones sostenidas, que en muchas ocasiones pueden ser explicadas mediante el análisis de la bifurcación de Hopf. En esta singularidad el punto de equilibrio se vuelve inestable y el sistema experimenta una oscilación estable o ciclo límite. Nótese que esto implica que todas la variables del sistema de potencia oscilan de manera sostenida y, dependiendo de la amplitud, puede ser nocivo para la operación del mismo. Previo al estudio de los sistemas de potencia se analiza la dinámica de un circuito oscilador eléctrico que puede ser considerado como una plataforma de ensayos para profundizar los conocimientos e investigar acerca de interacciones entre modos oscilatorios y resonancias para luego trasladarlos a los sistemas de potencia. En particular se estudia la dinámica asociada a una bifurcación de Hopf doble (dos bifurcaciones de Hopf simultáneas). Se presentan varios diagramas de bifurcaciones generados a partir esta singularidad, así como algunos comportamientos dinámicos hallados en cercanías de una de resonancia 2:3 en la bifurcación de Hopf doble. Esta resonancia no ha sido estudiada en la literatura especializada. Además, se consideran singularidades de tipo fold-flip, donde interactúan bifurcaciones de silla-nodo de ciclos límites (fold ) y de doble período (flip). Esta singularidad ha sido reportada en una única ocasión en sistemas continuos y genera complejas interacciones entre ciclos límites. En esta tesis se estudian dos modelos de sistemas de potencia con estructuras muy diferentes. En primera instancia se analiza un modelo simplificado de 3 barras (4 variables de estado), donde el énfasis no es puesto en los detalles de modelado, sino en la comprensión de los fenómenos dinámicos que éste experimenta ante la variación de uno y dos parámetros. Posteriormente, se estudia la dinámica de un modelo multimáquina de 9 barras modelado en forma detallada (70 variables de estado), que toma en cuenta tanto la dinámica mecánica y la eléctrica de los generadores y de las cargas (incluyendo los lazos de control de tensión y frecuencia), así como la respuesta dinámica de las líneas de transmisión. Ante la variación de un parámetro, la dinámica es similar a la del modelo de 3 barras (ambos experimentan bifurcaciones de Hopf y silla-nodo), pero esto no es así cuando se consideran variaciones en dos parámetros. En el modelo simplicado el escenario dinámico está dominado por una singularidad de Bogdanov-Takens, que conjuga la dinámica generada por las bifurcaciones de Hopf y silla-nodo, y en esta tesis ha sido hallada por primera vez en una región de operación factible. Por otro lado, en el modelo de 9 barras se distinguen tres singularidades cuando se consideran variaciones de dos parámetros: dos bifurcaciones de Hopf dobles, en las cuales se combinan los efectos de dos bifurcaciones de Hopf, dando como resultado soluciones cuasiperiódicas (toros 2D y 3D) y una singularidad de Gavrilov-Guckenheimer, donde también interactúan la bifurcación de Hopf y la silla-nodo. La dinámica asociada a las singularidades de Hopf doble, así como su coexistencia con una bifurcación de Gavrilov-Guckenheimer, no ha sido estudiada con anterioridad en la literatura de los sistemas de potencia. Estas singularidades pueden ser consideradas como centros organizadores de la dinámica local del sistema, y mediante su estudio es posible inferir el comportamiento dinámico del sistema ante variaciones en los parámetros. A su vez, con el fin de ampliar el conocimiento del sistema se combinan los resultados del análisis de la dinámica con técnicas tradicionales, como por ejemplo, el cálculo de los factores de participación para identicar los modos responsables de oscilaciones producto de bifurcaciones de Hopf. Por último, como resultado de la combinación de estas técnicas, se analiza la inclusión de un estabilizador de sistemas de potencia para amortiguar un modo electromecánico problemático. La ubicación del estabilizador es determinada mediante el cálculo de los factores de participación, mientras que su efecto en la dinámica es mostrado en el nuevo diagrama de bifurcaciones mediante la ampliación de la región de operación posible del sistema. De esta forma también se pretende mostrar cómo el estudio de la dinámica de sistemas puede también auxiliar en la comprensión de los fenómenos observados en los sistemas de potencia eléctrica.

Power systems are currently among the most complex engineering systems. Hence, their dynamical phenomena are also intricate and sometimes there are no suitable tools available for their appropriate treatment. This is due to the nonlinear nature of these phenomena, which are usually manifested as interactions between parts of the system having, a priori, no clear relationship. On the other hand, due to the increasing demand of power and economic restrictions (among other factors), power systems are forced to operate near their stability limits, turning them more vulnerable to perturbations in the operating conditions. In addition, the performance of the system is, many times, not appropriate in such circumstances, since the operating conditions are far from those proposed in the design stage. For all these reasons, the study of the system behavior under parameter variations, such as a load demand or a controller gain, is of great interest in order to analyze possible dynamical scenarios due to such changes. This thesis addresses the study of power systems dynamics using the bifurcation theory. In order to achieve that, the different dynamical behaviors displayed by the system in response to quasistationary parameter variations are analyzed, studying the qualitative changes in the dynamics (i.e., bifurcations) originated by these variations. In this regard, sometimes it is possible to associate the voltage collapse phenomenon to the occurrence of a saddle-node bifurcation. As consequence of this singularity, the operating point vanishes when the reactive power consumed by the load is increased, hence the voltages drop suddenly originating the voltage collapse. Other nonlinear phenomena are the sustained oscillations, which in many occasions may be explained by analyzing a Hopf bifurcation. In this singularity, the equilibrium point becomes unstable and the system undergoes a stable oscillation or limit cycle. Notice that the later means that all variables experience a sustained oscillation and, depending on the amplitude this may be dangerous for the system. Previous to the study of power systems, the dynamics of an electric oscillator is analyzed. This circuit may be considered as a test platform to gain the prociency about the dynamics associated to modal interactions and resonances, and then translate these results to power systems. In particular, the dynamics of a double Hopf bifurcation (two simultaneous Hopf bifurcations) is studied. Several bifurcation diagrams generated by this singularity are presented, as well as some dynamical phenomena found in the vicinity of a 2:3 resonance of the double Hopf bifurcation are also included. This resonance has not been studied yet in the specialized literature. Furthermore, fold-flip singularities, where cyclic fold and period doubling (flip) bifurcations interact, are considered. This singularity has been reported only once in continuous time systems and generates complex interactions between limit cycles. Two power systems with very different structure are studied in this thesis. A simplied 3-bus model (4 state variables) is analyzed in first place, where the emphasis is not in the modeling detail, but in the comprehension of the dynamical phenomena experienced by the system due to variations in one and two parameters. Then, the dynamics of a detailed model of a 9-bus multimachine power system (70 state variables) is studied. This model accounts not only for the mechanical and electrical dynamics of the generators and the loads (including their voltage and frequency control loops), but also the response of the transmission lines. The dynamics of this system is similar to the 3-bus model for variations of a single parameter (both experience Hopf and saddle-node bifurcations), but this is not the case when variations of two parameters are considered. The dynamical scenario of the simplied model is dominated by a Bogdanov-Takens singularity, which conjugates the dynamics generated by the Hopf and saddle-node bifurcations, and in this thesis for the rst time, it has been found in a possible operating region. On the other hand, three singularities are recognized in the 9-bus system when two parameters are varied: two double Hopf bifurcations, where the eects of two Hopf bifurcations are combined, resulting in quasiperiodic oscillations (2D and 3D tori), and a Gavrilov-Guckenheimer singularity, where Hopf and saddle-node bifurcations interact. The dynamics associated to the double Hopf singularities, and their coexistence with a Gavrilov-Guckenheimer bifurcation, has not been previously studied in the power systems literature. These singularities may be considered as organizing centres of the local dynamics, and their study brings the possibility to determine the dynamical behavior of the system subjected to variations in the parameters. Moreover, in order to improve the knowledge of the system, the results obtained from the dynamical analysis are combined with traditional tools such as the calculation of the participation factors to identify the responsible modes for oscillations due to Hopf bifurcations. Finally, as a result of the combination of these techniques, the addition of a power system stabilizer to damp an electromechanical mode is analyzed. The location of the stabilizer is determined calculating the participation factors, while the eect on the dynamics is shown in the new bifurcation diagram, with an increment of the possible operating region. In this way this dissertation tries to show how the study of dynamical systems may also help with the comprehension of the complex phenomena of electric power systems.