Bifurcaciones globales y sincronía en redes y sistemas no suaves

Abstract

Las redes y los sistemas no suaves constituyen uno de los tópicos más recientes y estudiados en la teorÍa de los sistemas dinÁmicos. Distintos desarrollos y problemas surgidos de disciplinas como la fÍsica, la biologÍa, la informática y la electrónica, han generado la necesidad de expandir las clásicas herramientas utilizadas para los sistemas suaves a estos nuevos objetos. Por ello, los conceptos y herramientas de la teoría clásica de sistema dinámicos resultan sistemáticamente generalizados a este nuevo contexto, aunque las particularidades propias de la dinámicas colectivas y/o discontinuas provocan que esta generalización no sea directa. A lo largo de esta tesis nos concentramos en el análisis de la dinámica de un tipo específico de redes y de cierto tipo específico de sistemas no suaves. Por un lado damos cuenta de un tipo particular de redes no suaves denominadas threshold linear networks (TLN). Recurriendo a desarrollos formales y a la simulación numérica, investigamos el fenómeno de sincronía en estas redes, así como ciertas bifurcaciones globales que tienen lugar (dadas por la aparición/desaparición de conexiones heteróclinas y homóclinas). Logramos establecer resultados que dan condiciones suficientes para tales comportamientos, y mediante simulación, reportamos nuevos fenómenos asociados a estas redes. Por otro lado, motivados por el estudio de dinámicas fuertemente discontinuas, recurrimos a ejemplos concretos (algunos clásicos y otros más novedosos), enfocándonos en particular en aquellos que son de tipo híbrido. Mediante simulaciones numéricas exhibimos las distintas dinámicas caóticas que estos sistemas poseen, y damos cuenta de las similitudes y diferencias que tienen lugar al compararlos con los sistemas clásicos. Además presentamos la generalización al caso no suave de dos herramientas utilizadas para estudiar los sistemas dinámicos y la sincronía de redes: el exponente maximal de Lyapunov y la master stability function (MSF). Primero comentamos dos metodologías utilizadas para estimar el exponente maximal de Lyapunov, que son el método de Stefanski y el método de la matriz de salto, y las ejemplificamos aplicándolas a sistemas caóticos no suaves. Luego aportamos una generalización de la MSF, aplicable a un tipo de redes (propuestas por nosotros) caracterizadas por poseer un fuerte comportamiento discontinuo: las redes híbridas. Damos un ejemplo original de este tipo de red y realizamos la evaluación de su MSF. Además discutimos la posibilidad de generalizar esta herramienta a casos de acoplamiento no lineal y damos una respuesta negativa a tal situación. Por último, estudiamos el caso de una red de dos osciladores conectados de manera lineal a trozos y discutimos su adaptabilidad, que es posible en este caso particular.

Networks and non-smooth systems are one of the most recent topics studied in the theory of dynamical systems. Different developments and problems arising from disciplines such as physics, biology, computer science and electronics, have generated the need to expand the classic tools used for smooth systems to these new objects. Therefore, the concepts and tools of the classical theory of dynamical systems are systematically generalized to this new context, although the peculiarities of the collective and/or discontinuous dynamics cause that this generalization is not direct. Throughout this thesis we concentrate on the analysis of the dynamics of a specific type of networks and of a specific type of non-smooth systems. On the one hand we analyze a particular type of non-smooth networks called threshold linear networks (TLN). Using formal developments and numerical simulation, we investigate the phenomenon of synchrony in these networks, as well as certain global bifurcations that take place (given by the appearance/disappearance of heteroclinic and homoclinic connections). We managed to establish results that give sufficient conditions for such behaviors, and through simulation, we report new phenomena associated with these networks. On the other hand, motivated by the study of strongly discontinuous dynamics, we resort to concrete examples (some classic and others more novel), focusing in particular on those that are of hybrid type. Through numerical simulations we show the different chaotic dynamics that these systems have, and we realize the similarities and differences that take place when compared with classical smooth systems. We also present the generalization to the non-smooth case of two tools used to study dynamical systems and network synchrony: the maximal exponent of Lyapunov and the master stability function (MSF). First we discuss two methodologies used to estimate the maximal exponent of Lyapunov, which are the Stefanski method and the saltation matrix method, and we exemplify them by applying them to non-smooth chaotic systems. Then, we provide a generalization of the MSF, applicable to a type of networks (proposed by us) characterized by having a strong discontinuous behavior: the hybrid networks. We give an original example of this type of network and perform the evaluation of its MSF. We also discuss the possibility of generalizing this tool to non-linear coupling cases and we give a negative response to this situation. Finally, we study the case of a network of two oscillators connected in a piecewise linear way and we discuss their adaptability, which is possible in this particular case.