Estructuras de identificación basadas en funciones canónicas lineales a tramos

Abstract

Las técnicas de identificación permiten construir modelos matemáticos para sistemas dinámicos a partir de datos registrados de un experimento o del normal funcionamiento del sistema a modelar. El diseño de un modelo implica un compromiso entre su simplicidad y la necesidad de capturar los aspectos esenciales del sistema en estudio. Los modelos caja negra se diseñan enteramente a partir de los datos entrada/salida disponibles del sistema, sin tener en cuenta la interpretación de los parámetros que lo definen. Existen dife-rentes clases de modelos caja negra; considerando su mayor simplicidad, los primeros en desarrollarse fueron los modelos lineales. Posteriormente, dada la necesidad de modelar con mayor precisión, surgieron los modelos no lineales. Una de las principales clases de modelos no lineales de caja negra son los modelos tipo Wiener. Las estructuras que proponemos en esta tesis están dentro de esta familia de modelos. Presentamos, en primer lugar, una estructura de modelo basada en funcio-nes Canónicas Lineales a Tramos de Alto Nivel (CLATAN) y un algoritmo de identificación NOE (por sus siglas en inglés, Non-linear Output Error). Exploramos además la capacidad de apro-ximación, de generalización así como también la estabilidad de este modelo. El algoritmo propuesto permite comenzar con una aproximación OE y aumentar fácilmente el orden hasta al-canzar la aproximación deseada, conservando la aproximación lograda hasta el orden inmediato anterior. Por otra parte, el algoritmo de aprendizaje para determinar los parámetros ga-rantiza la BIBO estabilidad del modelo. Luego, proponemos dos esquemas de aproximación para los cuales probamos que per-miten aproximar cualquier sistema dinámico discreto, no lineal, causal, invariante en el tiempo y con memoria evanescente. Estos modelos están compuestos por un conjunto finito de sistemas discretos de Laguerre o de Kautz, relacionados de manera no lineal mediante funciones CLATAN, cuyos paráme-tros ajustamos utilizando teoría de estimación con conjuntos de membresía (teoría SM). Con esta metodología, estimamos dichos parámetros asumiendo sólo que el ruido es desconocido pero acotado en alguna norma dada (ruido UBB), lo que cons-tituye una hipótesis débil para el mismo. Por otra parte, me-diante la teoría SM hallamos un conjunto que contiene todas las posibles soluciones del problema, lo que nos permite es-timar las cotas de incertidumbre asociadas al problema de es-timación. La metodología resultante es robusta, en el sentido que el conjunto de datos utilizado para la identificación del sistema en estudio puede ser reproducido por al menos uno de los modelos en el conjunto de parámetros identificados.

System identification deals with mathematical models for dynamical systems built from gathered data from experi-ments. The design of such models implies a trade of between simplicity and the need to capture the essential features of the system under study. Black box models are based entirely upon the available input/output data, regar-dless of any interpretation of the parameters involved. Due to its simplicity, linear black box models were first developed. Later, on the urge for more accurate models led to the development of non-linear ones. Wiener like-models constitute one of the most relevant classes of non-linear models. The models proposed in this Thesis belong to this class.We first propose a model structure based on High Level Canonical Piecewise Linear(HLCPWL) functions and a Nonlinear Output Error (NOE) identification algorithm. We explore the approximation capabilities of this structure together with its generalization and stability properties. Starting from a linear Output Error (OE) approximation, this model family yields an identification algorithm such that the order of the model can be easily increased during the identification process, retaining the previously achie-ved approximation. The parameters of the HLCPWL functions arlearned using a simple algorithm that guarantees BIBO stability of the model. Next, we consider two approxima-tion schemes for non linear, discrete, causal, timeinva-riant dynamical systems with fading memory. In these mo-dels, the dynamic linear part is represented by a finite set of Laguerre or Kautz basis functions, while the non-linear static part is realized by High Level Canonical Piecewise Linear basis functions. We estimate the parame-ters of the HLCPWL functions using set membership estima-tion theory. This theory allows to estimate the models parameters under mild conditions for the noise; in fact we only assume that the noise is unknown but bounded (UBB). We also provide a methodology for estimating the uncer-tainty bounds for the models and prove that this structure allows to uniformly approximate any nonlinear discrete, causal, time-invariant systems with fading memory. The proposed methodology is robust, in the sense that the data set used for the identication of the system under study can be reproduced by at least one of the models within the set of all identified parameters.