Una contribución al estudio de álgebras de De Morgan modales 4-valuadas

Abstract

En 1920, J. Lukasiewicz introdujo sus sistemas de logicas polivalentes como una tentativa de investigar las proposiciones modales y las nociones de posibilidad y necesidad íntimamente relacionadas con tales proposiciones. Los argumentos utilizados por Lukasiewicz están analizados y discutidos en [44, 12]. Tambien hay un análisis histórico detallado del desarrollo de sus ideas en [51]. Lukasiewicz introdujo para cada número natural n 2, un cálculo proposicional n−valente en el cual pueden atribuirse a las proposiciones n valores distintos de verdad. Entre 1940 y 1941, Gr.C. Moisil inició el estudio de las estructuras algebraicas correspondientes a dichos calculos a las que denominó álgebras de Lukasiewicz n−valuadas. Estas algebras son retıculos distributivos con una operacion de negacion y ciertas operaciones unarias que expresan modalidades. En 1940, este autor introdujo las algebras de Lukasiewicz 3−valuadas y las 4−valuadas. La definición original dada por Moisil para las algebras de Lukasiewicz 3−valuadas fue simplificada por el en 1960, y presentada de manera diferente por diversos autores entre los que podemos citar [39, 11, 2]. Posteriormente en 1966, L. Monteiro ([42]) demostró que de los ocho axiomas indicados por A. Monteiro, siete son independientes. Para exhibir la independencia de uno de ellos consideró un ejemplo que motivó a A. Monteiro para definir una nueva variedad de algebras a la que denomino algebras tetravalentes modales. Cabe señalar que Monteiro conjeturó que las mismas darían origen a una lógica 4-valuada con importantes aplicaciones en Ciencias de la Computación J. Font y M. Rius en [22], entre otros resultados, estudiaron dos lógicas que son extensiones modales de la bien conocida lógica de Belnap 4-valuada las cuales tienen como modelo algebraico a las algebras tetravalentes modales. Lo que confirmo la conjetura de Monteiro. En esta tesis hallamos, entre otros resultados, un calculo proposicional estilo Hilbert del cual las algebras tetravalentes modales constituyen su contrapartida algebraica. Más precisamente, a este trabajo lo hemos organizado en tres capítulos. El Capítulo I consta de cinco secciones. Todos los resultados indicados en ellas son conocidos, pero los hemos incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las notaciones y las definiciones que utilizaremos en lo que sigue. La primera de ellas está referida al álgebra universal y la teoría de categorías. La segunda, contiene tópicos sobre cálculos proposicionales y en las secciones restantes se describen las motivaciones que nos llevaron a considerar el cálculo estudiado. En el Capítulo II, obtuvimos lo que denominamos, en homenaje al Dr. Antonio Monteiro, el cálculo proposicional de Monteiro 4−valuado. Para el cual, utilizando las tecnicas indicadas por H. Rasiowa en [45], demostramos que pertenece a la clase de los sistemas proposicionales implicacionales standard y que es consistente. Ademas, mostramos que en este cálculo se verifica el Teorema de Completitud. Algunos de los resultados obtenidos en este capítulo fueron presentados en el XII y XIV Latin American Symposium on Mathematical Logic que se llevó a cabo en Costa Rica y en Brasil en el 2004 y 2008 respectivamente. En el Capítulo III, con el objeto de obtener un modelo algebraico más adecuado del cálculo proposicional de Monteiro 4−valuado, introducimos una nueva variedad de álgebras que hemos denominado retículos distributivos modales con implicación. Posteriormente, mostramos que existe una equivalencia entre la categoría de estas álgebras y la de las álgebras tetravalentes modales con sus correspondientes homomorfismos. Este último resultado es fundamental para demostrar nuestra afirmación inicial ya que los retículos distributivos modales con implicación son efectivamente más adecuados que las álgebras tetravalentes modales ya que ellos tienen a la implicación!como una de sus operaciones binarias básicas. Finalmente, cabe mencionar que los temas investigados en este capítulo fueron presentados en la Reunión anual de la UMA en el 2006 y se encuentran publicados en [5].

In 1920, J. Lukasiewicz introduced many-valued logics in an attempt to research the modal propositions and the notions of possibility and necessity intimately related to such propositions. The arguments used by Lukasiewicz are analysed and discussed in [44, 12]. There is also a detailed historical study of his ideas in [51]. For every natural number n 2, Lukasiewicz introduced an n−valued propositional calculus in which he assigned to each proposition n different truth values. Between 1940 and 1941, Gr.C. Moisil started the study of the algebraic counterparts of those propositional calculi which he called n−valued Lukasiewicz algebras. These algebras are distributive lattices with a negation operation and certain unary operations that express modalities. In 1940, this author introduced 3−valued and 4−valued Lukasiewicz algebras. The original definition given by Mosil for 3−valued Lukasiewicz algebras was simplified by him in 1960, and presented in a different way by many authors as we can see in [39, 11, 2] to mention a few. Lately in 1966, L. Monteiro ([42]) proved that seven of the eight axioms indicated by A. Monteiro for these algebras are independent. To exhibit the independence of one of them, he considered an example that motivated A. Monteiro to define a new variety of algebras which he called tetravalent modal algebras. It is worth mentioning that Monteiro expressed his view that in the near future these algebras would give rise to a four-valued modal logic with significant applications in Computer Science. J. Font and M. Rius in [22], among other results, studied two logics that are modal extensions of the so-called Belnaps 4−valued logic. Both of them have tetravalent modal algebras as the algebraic counterpart. These results gave a positive answer to Monteiros conjecture. In this thesis we obtained among other results, a Hilbert style propositional calculus, which has tetravalent modal algebras as the algebraic counterpart. More precisely, we have organized this work in three chapters. Chapter I consists of five sections. All the results indicated are well known, but we have included them both to simplify the reading as well as to fix the notations and the definitions that we will use in this volume. The first one refers to universal algebra and the theory of categories. The second one, contains topics about propositional calculi and in the remainder sections we describe the motivations that gave rise to consider the study of this calculus. In Chapter II, we describe what we called Monteiros 4−valued propositional calculus, to pay homage to Dr. Antonio Monteiro. Taking into account the techniques indicated by H. Rasiowa in [45], we prove that this calculus belongs to the class of standard systems of implicative extensional propositional calculi. Besides, we establish that it is consistent. Moreover, we show that the completeness theorem for this propositional calculus holds. Some of the results obtained in this chapter have been presented in the XII and XIV Latin American Symposium on Mathematical Logic that took place in Costa Rica and Brazil in 2004 and 2008 respectively. In Chapter III, with the purpose of obtaining an algebraic model more appropriate for Monteiros 4−valued propositional calculus, we introduce a new variety of algebras which we called distributive modal lattices with implication. Lately, we show that there is an equivalence between the category of these algebras and that of tetravalent modal algebras with their corresponding homomorphisms. This last result is fundamental in order to prove our initial assertion because modal distributive lattices with implication are more adequated than tetravalent modal algebras, because they have an implication!as one of the basic binary operations. Finally, it can be mentioned that the topics researched in this chapter have been presented in the Reunion Anual de la Union Matematica Aregentina in 2006 and they were published in [5].