Núcleos y conúcleos sobre hoops

Abstract

En esta tesis estudiamos núcleos y conúcleos sobre hoops, dos nociones muy importantes en el contexto de estructuras residuadas. El estudio de estas construcciones sobre hoops es de gran interés, dado que los hoops generalizan varias clases de álgebras conocidas, como la clase de MV-álgebras y la clase de BL-álgebras. En el contexto de núcleos, entre varios resultados generales, damos una descripción de un núcleo arbitrario sobre un hoop. Hacemos énfasis en los términos que definen un núcleo sobre todas las álgebras de una variedad, con el fin de generalizar la doble negación. Presentamos algunos resultados generales de estos términos y varios ejemplos. Un resultado importante de esta tesis es una descripción de todos los términos que definen un núcleo sobre todas las estructuras de una variedad de hoops básicos arbitraria. Gracias a esta descripción y algunos resultados adicionales, también damos una descripción de todos los términos que definen un núcleo sobre todas las estructuras de una variedad de BL-álgebras arbitraria. En particular, mostramos que existen variedades de hoops básicos con términos que definen un núcleo sobre todas las álgebras de la variedad y no son equivalentes a x y ⊤. Además, mostramos que existen variedades de BL-álgebras con términos que definen un núcleo sobre todas las álgebras de la variedad y no son equivalentes a x, ¬¬x y ⊤. Por otro lado, estudiamos propiedades de conúcleos sobre hoops. Entre varios ejemplos y resultados generales, damos un teorema de tipo Glivenko para conúcleos. En esta tesis, también nos enfocamos en el estudio de conúcleos que están dados por términos y conúcleos que respetan el producto de la estructura, llamados conúcleos multiplicativos. Al igual que en el contexto de núcleos, estudiamos términos que definen conúcleos (multiplicativos) sobre todas las estructuras de una variedad. Uno de los resultados principales de esta tesis es una descripción de todos los términos que definen conúcleos multiplicativos sobre todas las estructuras de una variedad de hoops de Wajsberg propia arbitraria. Además de esta descripción, damos un algoritmo que permite calcular dichos términos. En el contexto de variedades de hoops básicos y BL-álgebras, mostramos que el problema de calcular términos que definen conúcleos (multiplicativos) sobre todas las estructuras de una variedad se reduce a estudiar los términos que definen conúcleos (multiplicativos) sobre una o un par de variedades de hoops de Wajsberg. En el apéndice de esta tesis presentamos un algoritmo recursivo que permite calcular varias clases de álgebras finitas con estructura subyacente de reticulado acotado y monoide. Para un tamaño fijo dado, este algoritmo calcula un conjunto de estructuras que contiene exactamente una única estructura de cada clase de isomorfismos. Entre los ejemplos de estructuras finitas que se pueden calcular se encuentran los reticulados residuados (acotados, conmutativos e integrales) finitos.

In this thesis we study nuclei and conuclei on hoops, two notions that are of great importance in the scope of residuated structures. The study of these constructions on hoops is of great interest, because hoops generalize several classes of known algebras, such as the class of MV-algebras and the class of BL-algebras. In the context of nuclei, among several general results, we provide a description of an arbitrary nucleus on a hoop. Special attention is given to terms that define a nucleus on every algebra of a variety, as a means of generalizing the double negation operation. An important result of this thesis consists of a description of all terms that define a nucleus on every structure of an arbitrary variety of basic hoops. Thanks to this description and some additional results, we also obtain a description of all terms that define a nucleus on every structure of an arbitrary variety of BL-algebras. Particularly, we show that there are varieties of basic hoops with terms that define a nucleus on every algebra of the variety and are not equivalent to x and ⊤. Moreover, we show that there are varieties of BL-algebras with terms that define a nucleus on every algebra of the variety and are not equivalent to x, ¬¬x and ⊤. Additionally, we study properties of conuclei on hoops. Among various examples and results, we give a Glivenko-type theorem for conuclei. In this thesis, we also focus on the study of conuclei which are given by terms and conuclei that preserve the multiplication of the structure, called multiplicative conuclei. As has been done in the context of nuclei, we study terms that define (multiplicative) conuclei on every structure of a given variety. One of the main results of this thesis is a description of all terms that define multiplicative conuclei on every structure of an arbitrary proper variety of Wajsberg hoops. Additionaly, we provide an algorithm which allows to compute the aforementioned terms. In the context of varieties of basic hoops and varieties of BL-algebras, we show that the problem of calculating terms that define (multiplicative) conuclei on every structure of a variety reduces to the computation of all terms that define (multiplicative) conuclei on some variety or some pair of varieties of Wajsberg hoops. In the Appendix of this thesis we present a recursive algorithm that calculates several classes of finite algebras with an underlying bounded lattice monoid structure. For a fixed size, this algorithm calculates a set of structures which contains exactly one algebra of every isomorphism class. Among the examples of finite structures which can be calculated with this procedure is the class of finite (bounded, commutative and integral) residuated lattices.