Hipersecuentes y la lógica tetravalente modal T M L

Abstract

Esta tesis tiene como objeto el estudio de dos temas principales: en primer lugar nos abocamos al estudio de una clase de cálculos de Gentzen, los hipersecuentes; y en segundo lugar, abordamos el estudio de ciertas lógicas a las que dan lugar las álgebras tetravalentes modales. Ambos temas quedarán relacionados, como veremos en el Capítulo III. Los hipersecuentes son una generalización natural de los secuentes ordinarios que resultan ser una herramienta muy adecuada para presentar formulaciones estilo Gentzen de diversas l´ogicas con la muy deseable propiedad de eliminación de corte (cut-elimination property). En los años recientes, el desarrollo de métodos para combinar lógicas ha recibido mucha atención, y las motivaciones para que esto suceda provienen de áreas tan disímiles como la Filosofía y las Ciencias de la Computación (ver, por ejemplo, [13] y [15]). El fibring categorial (tambi´en conocido como fibring algebraico) introducido en [55], ha demostrado ser una herramienta amplia y poderosa para combinar lógicas. Por otro lado, la clase TMA de las álgebras tetravalentes modales fue considerada por primera vez por Antonio Monteiro, y fueron estudiadas principalmente por I. Loureiro, A.V. Figallo, A. Ziliani y P. Landini. Posteriormente, J.M. Font y M. Rius en [31] se interesaron en las lógicas a las que dan lugar los aspectos reticulares de estas ´ágebras.Estos mismos autores introdujeron un cálculo de secuentes para una de estas lógicas, a saber, T ML. En el Capítulo II, presentamos un modo alternativo de formular cálculos de hipersecuentes mediante la introducción de metavariables para fórmulas, secuentes e hipersecuentes respectivamente, en el lenguaje objeto. Se introduce una categoría adecuada de cálculos de hipersecuentes y se definen ambos tipos de fibring: restringido y no restringido. Los morfismos introducidos resultar´an ser una novedosa noción de traducción entre lógicas la cual preserva meta-propiedades en un sentido fuerte. Finalmente, exploraremos algunas características de preservación, en particular mostraremos un resultado sobre la preservación por fibring de la propiedad de interpolación de Craig (CIP). En el Capítulo III, retomamos la cuestion de investigar diferentes aspectos lógicos de las TMAs. Considerando la implicación contrapositiva introducida por A. Figallo y P. Landini en [28], introducimos tres cálculos de Hilbert distintos para la lógica T ML, como así tambien, un sistema de tableau correcto y completo para la semántica de las TMAs. Los aspectos paraconsistentes de T ML tambi´en son analizados desde el punto de vista de las Logicas de la Inconsistencia Formal, introducidas por W. Carnielli y J. Marcos en [18], y posteriormente estudiadas en [17]. La lógica tetravalente modal normal T MLN es luego estudiada. Finalmente, probamos que ambas lógicas son sublógicas propias del cálculo proposicional clásico que no son maximales. En el Capitulo IV, mostramos que el cálculo de secuentes presentado por Font y Rius en [31] para T ML no tiene la propiedad de eliminación de corte. Formulamos, entonces, un cálculo de hipersecuentes correcto y completo con respecto a T ML que si tiene esta tan deseable propiedad. Finalmente, en el Capítulo V, motivados por el problema de enriquecer a T ML con una implicación deductiva, probamos que las álgebras tetravalentes modales de A. Monteiro enriquecidas con un complemento booleano coinciden con las álgebras de De Morgan enriquecidas con un complemento booleano, o equivalentemente, con las álgebras de Boole enriquecidas con una negación de De Morgan. Estas últimas son denominadas álgebras de Boole involutivas (o simétricas) (IBAs), introducidas por Gr. Moisil y principalmente estudiadas por A. Monteiro. Probamos que las IBAs son la contrapartida algebraica de la lógica modal S5 que satisface ecuaciones adicionales. De esta manera, la lógica que puede asociarse naturalmente a las IBAs es una extensión modal propia de S5. Presentamos un cálculo de Hilbert correcto y completo para esta extensión de S5 en el lenguaje de las IBAs, esto es, sin modalidades.

The aim of this thesis is the study of two main topics. In the first place we focus on the study of a particular class of Gentzen systems, the so called hypersequents; and in the second place, we address the study of certain logics which are given raised by tetravalent modal algebras. Both topics will be relate as we will see in Chapter III. Hypersequents are a natural generalization od ordinary sequents and turned out to be a very suitable tool for presenting Gentzen style formulations of diverse logics with the very desirable cut-elimination property. In recent years, methods for combining logics have gained a lot of attention, and motivations come from different areas such as Philosophy and Computer Science (see for instance [13] y [15]). Categorical fibring (also known as algebraic fibring) introduced in [55], has shown to be a very wide and powerful tool for combining logics. On the other hand, the class TMA of tetravalent modal algebras was first considered by Antonio Monteiro, and were studied mainly by I. Loureiro, A.V. Figallo, A. Ziliani and P. Landini. Later, J.M. Font and M. Rius en [31] were interested in the logics that can be defined taking into account the lattice–theoretical aspects of these algebras. These same authors introduced a sequent calculus for one of these logics, namely, T ML. In Chapter II, we present an alternative way to formulate hypersequent calculi introducing meta–variables for formulas, sequents and hypersequents, respectively, in the language. A suitable category of hypersequent calculi and both kind of fibring: constrained and unconstrained. The introduced morphisms turned out to bea novel notion of translation between logics which preserve meta–properties in a strong sense. Finally, we explore some preservation features,in particular we show a preservation result by fibring of the Craig interpolation property (CIP). In Chapter III, we retake the study of different logical aspects of TMAs. Considering the contrapositive implication introduced by A. Figallo and P. Landini in [28], we introduce three different Hilbert calculus for the logic T ML, as well as, a tableau system sound and complete with respect to the semantics of TMAs. The paraconsistent aspects of T ML also are analyzed under the point of view of Logics of Formal Inconsistency, introduced by W. Carnielli and J. Marcos in [18], and later studied in [17]. Normal modal tetravalent logic T MLN is also studied. Finally, we prove that both logics are proper sublogics of classical propositional calculus that are not maximal. In Chapter IV, we show that the sequent calculus presented by Font and Rius en [31] for T ML does not admit the cut–elimination property. So, we formulate a hypersequent calculus sound and complete with respect to T ML which does admit the so longed property. Finally, in Chapter V, motivated by the question of enrich T ML with a deductive implication, we prove that Monteiro’s tetravalent modal algebras enriched with a boolean complement coincide with De Morgan enriched with a boolean complement, or equivaxiv lently, they coincide with Boolean algebras enriched with a De Morgan negation. The latter are called involutive Boolean algebras (or symetric Boolean algebras) (IBAs), introduced by Gr. Moisil and mainly studied by A. Monteiro. We prove that IBAs are an algebraic counterpart to yhe modal logic S5 that satisfies some additional equations. So, the logic that naturally can be associated to IBAs is a proper modal extension of S5. We present a Hilbert calculus sound and complete with respect to this extension of S5 in the language of IBAs, i.e., without modalities.